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22．（8分）（2013•黄石）高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改进行驶，试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．（
取1.732）
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．
分析： 首先过点A作AH⊥CF于点H，易得∠ACH=60°，然后利用三角函数的知识，求得AH的长，继而可得消防车是否需要改进行驶．
解答： 解：如图：过点A作AH⊥CF于点H，
由题意得：∠MCF=75°，∠CAN=15°，AC=125米，
∵CM∥AN，
∴∠ACM=∠CAN=15°，
∴∠ACH=∠MCF﹣∠ACM=75°﹣15°=60°，
∴在Rt△ACH中，AH=AC•sin∠ACH=125×
≈108.25（米）＞100米．
答：消防车不需要改道行驶．
点评： 此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
23．（8分）（2013•黄石）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图象如图所示：
（1）根据图象，直接写出y1、y2关于x的函数图象关系式；
（2）若两车之间的距离为S千米，请写出S关于x的函数关系式；
（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离．
考点： 一次函数的应用．
分析： （1）直接运用待定系数法就可以求出y1、y2关于x的函数图关系式；
（2）分为两种情况，在相遇前，两车之间的距离=总路车﹣客车行驶的路﹣出租车行驶的路程；当两车相遇后两车间的距离=客车行驶的路程+出租车行驶的路程﹣600求出其解即可；
（3）分A加油站在甲地与B加油站之间，B加油站在甲地与A加油站之间两种情况列出方程求解即可．
解答： 解：（1）设y1=k1x，由图可知，函数图象经过点（10，600），
∴10k1=600，
解得：k1=60，
∴y1=60x（0≤x≤10），
设y2=k2x+b，由图可知，函数图象经过点（0，600），（6，0），则
，
解得：
∴y2=﹣100x+600（0≤x≤6）；
（2）由题意，得
60x=﹣100x+600
x=
，
当0≤x＜时，S=y2﹣y1=﹣160x+600；
当
≤x＜6时，S=y1﹣y2=160x﹣600；
当6≤x≤10时，S=60x；
即S=
；
（3）由题意，得
①当A加油站在甲地与B加油站之间时，（﹣100x+600）﹣60x=200，
解得x=
，
此时，A加油站距离甲地：60×=150km，
②当B加油站在甲地与A加油站之间时，60x﹣（﹣100x+600）=200，
解得x=5，此时，A加油站距离甲地：60×5=300km，
综上所述，A加油站到甲地距离为150km或300km．
点评： 本题考查了分段函数，函数自变量的取值范围，用待定系数法求一次函数、正比例函数的解析式等知识点的运用，综合运用性质进行计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，注意：分段求函数关系式，题目较好，但是有一定的难度．
24．（9分）（2013•黄石）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果
，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果
，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）如图2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC在（1）的条件下，如图3，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图4，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论．
考点： 相似形综合题；黄金分割．
分析： （1）证明AD=CD=BC，证明△BCD∽△BCA，得到
，则有
，所以点D是AB边上的黄金分割点；
（2）证明S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD，直线CD是△ABC的黄金分割线；
（3）根据相似三角形比例线段关系，证明BG=GC，AH=HD，则梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等，高也相等，S梯形ABGH=S梯形GCDH=
S梯形ABCD，所以GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．
解答： 解：（1）点D是AB边上的黄金分割点．理由如下：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°．
∵CD是角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=36°，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD．
∵∠CDB=180°﹣∠B﹣∠BCD=72°，
∴∠CDB=∠B，
∴BC=CD．
∴BC=AD．
在△BCD与△BCA中，∠B=∠B，∠BCD=∠A=36°，
∴△BCD∽△BCA，
∴，
∴，
∴点D是AB边上的黄金分割点．
（2）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
设△ABC中，AB边上的高为h，则S△ABC=
AB•h，S△ACD=AD•h，S△BCD=BD•h．
∴S△ACD：S△ABC=AD：AB，S△BCD：S△ACD=BD：AD．
由（1）知，点D是AB边上的黄金分割点，
，
∴S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD，
∴CD是△ABC的黄金分割线．
（3）直线不是直角梯形ABCD的黄金分割线．理由如下：
∵BC∥AD，
∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD，
∴
，
，
∴
，即
①
同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF得：
，即
②
由①、②得：
，
∴AH=HD，
∴BG=GC．
∴梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等，高也相等，
∴S梯形ABGH=S梯形GCDH=
S梯形ABCD．
∴GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、含36°角的等腰三角形、黄金分割、直角梯形等知识点．试题难度不大，理解题中给出的黄金分割点、黄金分割线的概念是正确解题的基础．
25．（10分）（2013•黄石）如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=﹣
时，y取最大值
．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC=1：3，求点P的坐标；
（3）直线y=
x+a与（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：
①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论）
（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M、N两点之间的距离为|MN|=
）
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）先根据抛物线y=﹣x2+bx+c，当x=﹣时，y取最大值
，得到抛物线的顶点坐标为（﹣
，），可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出A、C的坐标，然后将A、C的坐标代入
y=kx+m，运用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是AP：PC=1：3，即3AP=PC，可先求出AC的长，然后分情况讨论：
①当P在线段AC上时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足．由PH∥OC，根据平行线分线段成比例定理求出PH的长，进而求出P点的坐标；
②当P在CA的延长线上时，由PG∥OC，根据平行线分线段成比例定理求出PG的长，进而求出P点的坐标；
（3）联立两函数的解析式，设直线y=x+a与抛物线y=﹣x2﹣x+6的交点为M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左侧），则xM、xN是方程x2+
x+a﹣6=0的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，xM+xN=﹣，xM•xN=a﹣6，进而求出yM•yN=
（a﹣6）﹣
a+a2．
①由于∠MON=90°，根据勾股定理得出OM2+ON2=MN2，据此列出关于a的方程，解方程即可求出a的值；
②由于∠MON＞90°，根据勾股定理得出OM2+ON2＜MN2，据此列出关于a的不等式，解不等式即可求出a的范围．
解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c，当x=﹣
时，y取最大值
，
∴抛物线的解析式是：y=﹣（x+）2+，即y=﹣x2﹣x+6；
当x=0时，y=6，即C点坐标是（0，6），
当y=0时，﹣x2﹣x+6=0，解得：x=2或﹣3，
即A点坐标是（﹣3，0），B点坐标是（2，0）．
将A（﹣3，0），C（0，6）代入直线AC的解析式y=kx+m，
得
，
解得：
，
则直线的解析式是：y=2x+6；
（2）过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵S△ABP：S△BPC=1：3，
∴
=
，
∴AP：PC=1：3，
由勾股定理，得AC=
=3
．
①当点P为线段AC上一点时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足．
∵PH∥OC，
∴
=
=
，
∴PH=
，
∴=2x+6，
∴x=﹣
，
∴点P（﹣，）；
②当点P在CA延长线时，作PG⊥x轴，点G为垂足．
∵AP：PC=1：3，
∴AP：AC=1：2．
∵PG∥OC，
∴
=
=
，
∴PG=3，
∴﹣3=2x+6，x=﹣
，
∴点P（﹣，﹣3）．
综上所述，点P的坐标为（﹣
，
）或（﹣
，﹣3）．
（3）设直线y=
x+a与抛物线y=﹣x2﹣x+6的交点为M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左侧）．
则
，
为方程组
的解，
由方程组消去y整理，得：x2+
x+a﹣6=0，
∴xM、xN是方程x2+x+a﹣6=0的两个根，
∴xM+xN=﹣，xM•xN=a﹣6，
∴yM•yN=（
xM+a）（xN+a）=
xM•xN+
（xM+xN）+a2=（a﹣6）﹣
a+a2．
①存在a的值，使得∠MON=90°．理由如下：
∵∠MON=90°，
∴OM2+ON2=MN2，即
+
+
+
=（xM﹣xN）2+（yM﹣yN）2，
化简得xM•xN+yM•yN=0，
∴（a﹣6）+
（a﹣6）﹣
a+a2=0，
整理，得2a2+a﹣15=0，
解得a1=﹣3，a2=
，
∴存在a值，使得∠MON=90°，其值为a=﹣3或a=；
②∵∠MON＞90°，
∴OM2+ON2＜MN2，即
+
+
+
＜（xM﹣xN）2+（yM﹣yN）2，
化简得xM•xN+yM•yN＜0，
∴（a﹣6）+
（a﹣6）﹣
a+a2＜0，
整理，得2a2+a﹣15＜0，
解得﹣3＜a＜
，
∴当∠MON＞90°时，a的取值范围是﹣3＜a＜
．
点评： 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，函数与方程的关系，勾股定理，钝角三角形三边的关系等知识，综合性较强，难度较大．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键．
