2014学年度四调考试高三年级数学（理科）试卷
命题人 褚艳春 王丛
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）
1.已知命题 ： （ ）
A． B．
C． D．
2．数列 中，若 ，则该数列的通项 （ ）
A． B． C． D．
3.在 中,若 ,则 的形状一定是（　　）
A．等边三角形 B． 直角三角形
C．钝角三角形 D．不含 角的等腰三角形
4.已知 的最小值是 ，则二项式 展开式中 项的系数为（ ）
A． B． C． D．
5. 高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）
A．1800 B．3600 C．4320 D．5040
6. 右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是（　　）
A． B．
C． D．
7. 6张卡片上分别写有数字1，1，2，3，4，5，从中取4张排成一排，可以组成不同的4位奇数的个数为（ ）
A．180 B．126 C．93 D．60
8.已知 点C在∠AOB外且 设实 数 满足
则 等于（　　）
A．2 B． C．-2 D．- :Z§
9.能够把圆 : 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 的“和
谐函数”,下列函数不是圆 的“和谐函数”的是（　　）
A． B．
C． D．
10．点P是双曲线 左支上的一点，其右焦点为 ，若 为线段 的中点, 且 到坐标原点的距离为 ，则双曲线的离心率 的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
11．已知函数 的两个极值点分别为 ，且 ， ，点 表示的平面区域为 ，若函数 的图像上存在区域 内的点，则实数 的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
12．设函数 的定义域为 ，若满足：① 在 内是单调函数； ②存在 ,使得 在 上的值域为 ，那么就称 是定义域为 的“成功函数”.若函数 是定义域为 的“成功函数”，则 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
Ⅱ卷 非选择题 （共90分）
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）
13.对一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有________种（用数字作答）．
14.已知ΔABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a = 1, 2cosC + c = 2b,则ΔABC
的周长的取值范围是__________.
15.已知定义在 上的偶函数 满足: ,且当
时, 单调递减,给出以下四个命题:
① ;
② 为函数 图像的一条对称轴;
③函数 在 单调递增;
④若关于 的方程 在 上的两根 ,则 .
以上命题中所有正确的命题的序号为_______________.
16.如图，已知球 是棱长为 的正方体 的内切球，则平面 截球 的截面面积为
三、解答题（本题6个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）
17.在 中，角 所对的边为 ，且满足
（Ⅰ）求角 的值；
（Ⅱ）若 且 ，求 的取值范围．
18、已知数列{an}满足： ， ，
（Ⅰ）求 ，并求数列{an}通项公式；
（Ⅱ）记数列{an}前2n项和为 ，当 取最大值时，求 的值．
19. 正方形 与梯形 所在平面互相垂直， ， ，点 在线段 上且不与 重合。
（Ⅰ）当点M是EC中点时，求证：BM//平面ADEF；
（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为 时，求三棱锥 的体积.
20、如图，已知抛物线 ： 和⊙ ： ，过抛物线 上一点
作两条直线与⊙ 相切于 、 两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心
点 到抛物线准线的距离为 ．
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）当 的角平分线垂直 轴时，求直线 的斜率；
（Ⅲ）若直线 在 轴上的截距为 ，求 的最小值．
21. 设 , .
（Ⅰ）当 时,求曲线 在 处的切线的方程;
（Ⅱ）如果存在 ,使得 成立,求满足上述条件的最大整数 ;
（Ⅲ）如果对任意的 ,都有 成立,求实数 的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22. 如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD= AC
AE= AB,BD,CE相交于点F.
（Ⅰ）求证:A,E,F,D四点共圆;
（Ⅱ）若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.
23. 设
（Ⅰ）当 ，解不等式 ；
（Ⅱ）当 时，若 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
24. 已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数）.
（Ⅰ）写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线 经过伸缩变换 得到曲线 ，设 为曲线 上任一点，求 的最小值，并求相应点 的坐标。
2013～2014学年度上学期四调考试 高三年级数学（理科）答案
一、选择题 1-5 DCBAB 6-10 DBADB 11-12 AC
11.试题分析： 的两根为 ，且 ，
，故有
即 作出区域D，如图阴影部分，
可得 ，∴ ，故选B．
12．试题分析：无论 ，还是 ，都有 是增函数， 故 ，
，所以方程 有两个根，
即 有两个根，设 ，则直线 与函数 有两个交点，
画出这两个图象可以看出 的取值范围是 ，显然此时函数定义域为 ，选C.
二、填空题 13、30 14、 15、①②④ 16.
故
----------8分
因为 ，所以 ， ，----------10分
所以 ． ----------12分
18 解：（I）∵a1=20，a2=7，an+2﹣an=﹣2 ∴a3=18，a4=5
由题意可得数列{an}奇数项、偶数项分布是以﹣2为公差的等差数列
当n为奇数时， =21﹣n
当n为偶数时， =9﹣n
∴an= ---------------------------------------------6分
（II）s2n=a1+a2+…+a2n =（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+…+a2n）
= =﹣2n2+29n
结合二次函数的性质可知，当n=7时最大----------------------------------12分
19. 试题解析：（Ⅰ）以 分别为 轴建立空间直角坐标系
则
的一个法向量
， 。即 --------------------4分
（Ⅱ）依题意设 ，设面 的法向量
则 ，
令 ，则 ，面 的法向量
，解得 ---------------------10分
为EC的中点， ， 到面 的距离
------------------------------------------12分
20、解（1）∵点 到抛物线准线的距离为 ，
∴ ，即抛物线 的方程为 ．----------------------------------------------2分
（2）法一：∵当 的角平分线垂直 轴时，点 ，∴ ，
设 ， ，
∴ ， ∴ ，
∴ ． ．---------------------------6分
法二：∵当 的角平分线垂直 轴时，点 ，∴ ，可得 ， ，∴直线 的方程为 ，
联立方程组 ，得 ，
∵ ∴ ， ．
同理可得 ， ，∴ ．---------------------------6分
（3）法一：设 ，∵ ，∴ ，
可得，直线 的方程为 ，
同理，直线 的方程为 ，
∴ ， ，
∴直线 的方程为 ， 令 ，可得 ，
∵ 关于 的函数在 单调递增， ∴ ．------------------------------12分
法二：设点 ， ， ．
以 为圆心， 为半径的圆方程为 ， ①
⊙ 方程： ． ②
①-②得：直线 的方程为 ．
当 时，直线 在 轴上的截距 ，
∵ 关于 的函数在 单调递增， ∴ ． ------------------------12分
21. 【答案】(1)当 时, , , , ,
所以曲线 在 处的切线方程为 ; 2分
(2)存在 ,使得 成立 等价于: ,
考察 , ,
递减 极小值 递增
由上表可知: ,
,
所以满足条件的最大整数 ; 7分
(3)当 时, 恒成立等价于 恒成立,
22. 【答案】(Ⅰ)证明:∵AE= AB, ∴BE= AB, ∵在正△ABC中,AD= AC, ∴AD=BE,
又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE, ∴△BAD≌△CBE, ∴∠ADB=∠BEC,
即∠ADF+∠AEF=π,所以A,E,F,D四点共圆. ---------------------------5分
(Ⅱ)解:如图, 取AE的中点 G,连接GD,则AG=GE= AE,
∵AE= AB, ∴AG=GE= AB= ,
∵AD= AC= ,∠DAE=60°, ∴△AGD为正三角形,
∴GD=AG=AD= ,即GA=GE=GD= ,
所以点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为 .
由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为 . -------------------10分
23. （I） 时原不等式等价于 即 ，
所以解集为 ．---------------5分
（II）当 时， ，令 ，
由图像知：当 时， 取得最小值 ,由题意知： ，
所以实数 的取值范围为 .-------------------10分
24. 试题解析：（1） ------------------------ 4分
（2） ： 设 为：
---------------- 7分
所以当 为( )或 的最小值为1 ----------------10分