2014年高考真题—文科数学(广东卷)解析版
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
解析:本题考查集合的基本运算,属于基础题.,故选C.
2.已知复数满足,则( )
A. B. C. D.
解析:本题考查复数的除法运算,属于基础题..故选A.
3.已知向量,则( )
A. B. C. D.
解析:本题考查向量的基本运算,属于基础题..故选C.
4.若变量满足约束条件则的最大值等于( )
A.11 B.10 C.8 D.7
4、解析:本题考查线性规划问题。在平面直角坐标系中画图,作出可行域,可得该可行域是由(0,0),(0,3),(2,3),(4,2),(4,0)组成的五边形。由于该区域有限,可以通过分别代这五个边界点进行检验,易知当x=4,y=2时,z=2x+y取得最大值10。本题也可以通过平移直线,当直线经过(4,2)时,截距达到最大,即取得最大值10.故选答案B.
5.下列函数为奇函数的是( )
A. B. C. D.
5、解析:本题考察函数的奇偶性.对于A,,非奇非偶,对于B,,为偶函数;对于C,,
为偶函数;D中函数的定义域为R,关于原点对称,且
为奇函数.故答案为D。
6.为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )
A.20 B.25 C.40 D.50
6、解析:本题考查系统抽样的特点。分段的间隔为,故答案为B.
7.在中,角A,B,C所对应的边分别为则“”是“”的( )
A.充分必要条件 B.充分非必要条件
C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件
7、解析:本题考查正弦定理的应用。由于所以
所以,故“”是“”的充要条件,故选答案为A.
8.若实数满足,则曲线与曲线的( )
A.焦距相等 B. 离心率相等 C.虚半轴长相等 D. 实半轴长相等
8、解析:本题考查双曲线的定义和几何性质.本题可以采用一般法和特殊法,一般法在这里不赘述,令,则这两个曲线方程分别为和,它们分别对应的,故。所以它们的焦距相等,故答案为A.
9.若空间中四条两两不同的直线,满足则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C.与既不垂直也不平行 D.与的位置关系不确定
9、解析:本题考查空间中线线的位置关系。以正方体为模型,易知和的位置关系可能有或,故与的位置关系不确定.故答案为D.
10.对任意复数定义其中是的共轭复数,对任意复数有如下四个命题:
①②;
③④;
则真命题的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
10、解析:本题属于信息创新型题目,要求学生利用以学过的知识来解决新问题.
对于①,
对于②,.
令,,则,则
,所以
③
故
④,故
故答案为C.
二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.
(一)必做题(11—13题)
11.曲线在点处的切线方程为________.
解析:本题考查导数的几何意义。,故,所以在点处的切线方程为即
12.从字母中任取两个不同字母,则取字母的概率为________.
解析:本题考查古典概型.采用列举法,从字母中任取两个不同字母有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de共10个,含有字母a有ab,ac,ad,ae。故概率为
13.等比数列的各项均为正数,且,则 ________.
解析:本题考查等比数列的定义和性质.
本题也可以直接引入和这两个基本量求解.
选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线与的方程分别为与,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线与交点的直角坐标为________
解析:本题考查极坐标与平面直角坐标系的互化.由得即,由得.联立和,解得,,所以则曲线与交点的直角坐标为(1,2).
15.(几何证明选讲选做题)如图1,在平行四边形中,点在上且与交于点则
解析:本题考查平行线分线段成比例定理或相似三角形的判定以及性质。因为即,所以∽,所以
三.解答题:本大题共6小题,满分80分
16.(本小题满分12分)
已知函数,且
求的值;
若,求
解析:(1)由题意得,所以
.
(2)由(1)得,所以
所以
.因为,所以.
所以
点评:笔者觉得2014年广东高考的三角函数题目难度总体比往年大,第一问属于送分题,与往年设计求解特殊函数值类似,第二问比往年设计得复杂些,但对于中上层考生来讲,笔者仍觉得这是个容易题,思维受阻的可能性比较小.
17.(本小题满分13分)
某车间20名工人年龄数据如下表:
.
求这20名工人年龄的众数与极差;
以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;
求这20名工人年龄的方差.
解析:(1)年龄30的的工人数为5,频率最高,故这20名工人年龄的众数为30,极差为最大值与最小值的差,即40-19=21.
(2)茎叶图如下:
(3)这20名工人年龄的平均数为
所以这20名工人年龄的方差
点评:类似于本题的题目其实学生已经不小,所以学生对这种题型不会有陌生感.但是我觉得学生会遇到几个问题,一是计算容易出错,二是在画茎叶图可能不是很规范。另外关于极差,很可能大部分学生都忘记了.
18.(本小题满分13分)
如图2,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2,作如图3折叠:折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF.
证明:CF⊥平面MDF;
求三棱锥M-CDE的体积.
18(1)证明:(1)因为面,面,所以.又因为四边形为矩形,所以,因为,所以面.在图3中,因为面,所以即,又因为,,所以面.
(2)因为面,面,所以.在图2中,.
因为,所以.所以在中,,.所以在图3中,即.在,.又因为在,,所以,所以,所以
所以.
点评:本次考试的立体几何题基本与近两年较相似,主要汇集在线面位置关系的证明和锥(柱)体的体积求解,本题的第(2)问计算量较大,这也是做立体几何题常常会遇到的一个困难和挑战!
19.(本小题满分14分)
设各项均为正数的数列的前项和为,且满足
求的值;
求数列的通项公式;
证明:对一切正整数,有
解析:(1)当时,解得或。因为,所以.
(2)由题意得,因为,所以,所以,所以
即
当时,
当,满足上式,故
(3)证明:当时,.
当时,
所以
所以
故对一切正整数,有
点评:本道题的第(1)问是基础题,难度较小,第(2)问可能会让部分学生思维受阻,注意到,其本质就是关于的一元二次方程,采用因式分解或求根公式求出是解决本题的关键!第(3)问是数列求和放缩问题,放缩目标为,结合题目特点不难猜测利用这个模型就可以达到目的,而在证明方法很多,分析法和综合法都可以派上用场。与2014年广东理科数列题第19相比,笔者觉得文科的难度其实更大!
20.(本小题满分14分)
已知椭圆的一个焦点为,离心率为。
求椭圆C的标准方程;
若动点为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
解析:(1)由题意得,,所以,所以,所以椭圆C的标准方程为.
由题意可设两条直线的斜率存在,则其中的一条切线方程为,则另一条切线为.联立,消得
因为直线与椭圆相切,所以,化简得.同理可得。又因为是这两条切线的交点,所以联立解得,所以.所以,,因为,所以,将和代入式,得
.
当与轴垂直,轴时,或与轴垂直轴时,此时满足条件的的坐标为,满足上述方程,所以点P的轨迹方程为
点评:本题的第(2)问与2012年广东文科高考和2011年广东理科第(1)问有几分相似,方法很类似,考查了转化与化归的能力,计算量较大.可以看出往年的高考题就是最好的模拟试题!
21.(本小题满分14分)
已知函数
求函数的单调区间;
当时,试讨论是否存在,使得
解析:.令
当即时,,所以的单增区间为.
当即时,有两个不等的根,,
当当当所以的单增区间为和,单减区间为.
综上所述,当,的单增区间为.当,的单增区间为和,单减区间为..
(2)当时,,,.因为,所以所以,.
由(1)知在单减,在单增.
当即时,在单减,故不存在,使得
当即,在上单减,在上单增.
当即此时在上单减,在上单增.故不存在,使得
当时,此时,所以,而,所以存在使得.
时,存在,使得.
当时,此时
,所以,而,即
,所以存在使得.
综上所述: 当或时,不存在,使得,当
或时,存在,使得.
点评:与2011广东高考的19题或2012的21题相比,你会觉得第(1)问其实并不难!难度较大的是本题的第(2)问,综合考查了分类讨论和转化与化归思想的能力,可以想象学生在短短的两小时内要考虑这么多,将是一个很大的挑战和考验!