三、解答题

17．（本小题满分12分）

已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.

考点分析：本题考察三角恒等变化，三角函数的图像与性质。

难易度：★

解析：（Ⅰ）因为

.

由直线是图象的一条对称轴，可得，

所以，即．

又，，所以，故.

所以的最小正周期是.

（Ⅱ）由的图象过点，得，

即，即.

故，

由，有，

所以，得，

故函数在上的取值范围为.

18．（本小题满分12分）

已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.

（Ⅰ）求等差数列的通项公式；

（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.

考点分析：考察等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算。

难易度：★★

解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，

由题意得 解得或

所以由等差数列通项公式可得

，或.

故，或.

（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；

当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.

故

记数列的前项和为.

当时，；当时，；

当时，

. 当时，满足此式.

综上，

19．（本小题满分12分）

如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）．

（Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；

（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在

棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．

第19题图

考点分析：本题考察立体几何线面的基本关系，考察如何取到最值，用均值不等式和导数均可求最值。同时考察直线与平面所成角。本题可用综合法和空间向量法都可以。运用空间向量法对计算的要求要高些。

难易度：★★

解析：

（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△中，设，则．

由，知，△为等腰直角三角形，所以.

由折起前知，折起后（如图2），，，且，

所以平面．又，所以．于是

，

当且仅当，即时，等号成立，

故当，即时, 三棱锥的体积最大．

解法2：

同解法1，得．

令，由，且，解得．

当时，；当时，．

所以当时，取得最大值．

故当时, 三棱锥的体积最大．

（Ⅱ）解法1：以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系．

由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．

于是可得，，，，，，

且．

设，则. 因为等价于，即

，故，.

所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，．

设平面的一个法向量为，由 及，

得 可取．

设与平面所成角的大小为，则由，，可得

，即．

故与平面所成角的大小为

解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．

如图b，取的中点，连结，，，则∥.

由（Ⅰ）知平面，所以平面.

如图c，延长至P点使得，连，，则四边形为正方形，

所以. 取的中点，连结，又为的中点，则∥，

所以. 因为平面，又面，所以.

又，所以面. 又面，所以.

因为当且仅当，而点F是唯一的，所以点是唯一的.

即当（即是的靠近点的一个四等分点），．

连接，，由计算得，

所以△与△是两个共底边的全等的等腰三角形，

如图d所示，取的中点，连接，，

则平面．在平面中，过点作于，

则平面．故是与平面所成的角．

在△中，易得，所以△是正三角形，

故，即与平面所成角的大小为

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