20（本小题满分12分）

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。

（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。

分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。

（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。

从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率

（III）的可能取值为0，1，2，3

，，

，

分布列及期望略。

评析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。在计算时，采用分类的方法，用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。

（21）（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为

（I）求，的值；

（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。

解:(I）设，直线，由坐标原点到的距离为

则，解得.又.

（II）由(I）知椭圆的方程为.设、

由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设

代入椭圆的方程中整理得，显然。

由韦达定理有：．．．．．．．．①

.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：

点，点P在椭圆上，即。

整理得。

又在椭圆上，即.

故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

将及①代入②解得

,=,即.

当;

当.

评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。

22.(本小题满分12分)

设函数有两个极值点，且

（I）求的取值范围，并讨论的单调性；

（II）证明：

解: （I）

令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得

⑴当时，在内为增函数；

⑵当时，在内为减函数；

⑶当时，在内为增函数；

（II）由（I），

设，

则

⑴当时，在单调递增；

⑵当时，，在单调递减。

故．

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