21．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分12分。

解法一：

（I）依题意，得

由得

（Ⅱ）由（I）得（

故

令，则或

①当时，

当变化时，与的变化情况如下表：

由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为

②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R

③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为

综上：

当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；

当时，函数的单调增区间为R；

当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为

（Ⅲ）当时，得

由，得

由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为

所以函数在处取得极值。

故

所以直线的方程为

由得

令

易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，

故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点

解法二：

（I）同解法一

（Ⅱ）同解法一。

（Ⅲ）当时，得，由，得

由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，

故

所以直线的方程为

由得

解得

所以线段与曲线有异于的公共点

22．本小题主要考查直线、椭圆、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，满分14分

解法一：

（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为

故椭圆的方程为

（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而

由得0

设则得，从而

即又

由得

故

又

当且仅当，即时等号成立

时，线段的长度取最小值

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，

此时的方程为

要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。

设直线

则由解得或

① 当由

由于故直线与椭圆C有两个不同的交点

② 当由

由于与椭圆C没有交点

综上所述，当线段MN的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T，使得的面积等于

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）设

设

故

当且仅当时等号成立

即M,N的长度的最小值为

(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当M,N取最小值时，

此时BS的方程为

设与直线BS平行的直线方程为

由

当直线与椭圆C有唯一公共点时，有解得

当时，两平行直线BS：与：间的距离，

当时，两平行直线BS：与：间的距离，

故在BS边上的高

椭圆C上存在两个不同的点T，使得的面积等于

即线段MN的长度最小时，椭圆C上仅存在两个不同的点T，使得的面积等于

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