三．解答题

17．（本小题满分12分）已知等差数列的公差，前项和为．

（1）若成等比数列，求；

（2）若，求的取值范围．

本小题主要考查等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．满分12分．

解：（1）因为数列的公差，且成等比数列，

所以，

即，解得或．

（2）因为数列的公差，且，

所以；

即，解得

18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，，，，，．

（1）当正视图方向与向量的方向相同时，画出四棱锥的正视图.（要求标出尺寸，并画出演算过程）；

（2）若为的中点，求证：；

（3）求三棱锥的体积．

本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合能力、化归与转化思想，满分12分．

解法一：

（Ⅰ）在梯形中，过点作，垂足为，

由已知得，四边形为矩形，

在中，由，,依勾股定理得：

，从而

又由平面得，

从而在中，由，,得

正视图如右图所示：

（Ⅱ）取中点，连结，

在中，是中点，

∴，，又,

∴，

∴四边形为平行四边形，∴

又平面，平面

∴平面

（Ⅲ）

又，，所以

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）取的中点，连结,

在梯形中，，且

∴四边形为平行四边形

∴，又平面，平面

∴平面，又在中，

平面,平面

∴平面.又,

∴平面平面，又平面

∴平面

（Ⅲ）同解法一

19．（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率．

（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成的列联表，并判断是否有

的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

附表：

本小题主要考查古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然和或然思想、化归与转化思想等，满分12分．

解：（Ⅰ）由已知得，样本中有周岁以上组工人名，周岁以下组工人名

所以，样本中日平均生产件数不足件的工人中，周岁以上组工人有（人），

记为，，；周岁以下组工人有（人），记为，

从中随机抽取名工人，所有可能的结果共有种，他们是：，，，，，，，，，

其中，至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种，它们是：，，，，，，.故所求的概率：

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的名工人中，“周岁以上组”中的生产能手（人），“周岁以下组”中的生产能手（人），据此可得列联表如下：

所以得：

因为，所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”

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