（19）（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。

（Ⅰ）求证：AC⊥SD；

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，

使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；

若不存在，试说明理由。

（19）解法一：

（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得.

(Ⅱ)设正方形边长，则。又，所以,连，由（Ⅰ）知,所以,且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小为。

（Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使

由（Ⅱ）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.

解法二：

（Ⅰ）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。

设底面边长为，则高。

于是

故

从而

(Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为

(Ⅲ）在棱上存在一点使.

由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，

且

设

则

而

即当时，

而不在平面内，故

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

（20）解:

(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得

，

所以椭圆的标准方程为

（Ⅱ）设，其中。由已知及点在椭圆上可得

。

整理得，其中。

（i）时。化简得

所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。

（ii）时，方程变形为，其中

当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；

（21）（本小题满分12分）

已知函数

（I）如，求的单调区间；

（II）若在单调增加，在单调减少，证明＜6.

（21）解：

（Ⅰ）当时，，故

当

当

从而单调减少.

(Ⅱ)

由条件得：从而

因为所以

将右边展开，与左边比较系数得，故

又由此可得

于是

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

（22）本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知的两条角平分线和相交于H，，F在上，

且。

（I）证明：B,D,H,E四点共圆：

（II）证明：平分。

（22）解：

（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，

所以∠BAC+∠BCA=120°.

因为AD，CE是角平分线，

所以∠HAC+∠HCA=60°，

故∠AHC=120°.

于是∠EHD=∠AHC=120°.

因为∠EBD+∠EHD=180°，

所以B,D,H,E四点共圆.

（Ⅱ）连结BH,则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°

由（Ⅰ）知B,D,H,E四点共圆，

所以∠CED=∠HBD=30°.

又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，

可得∠CEF=30°.

所以CE平分∠DEF.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。

已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。

（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线

（t为参数）距离的最小值。

（23）解：

（Ⅰ）

为圆心是（，半径是1的圆.

为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

（Ⅱ）当时，

为直线

从而当时，

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.

（1）将y表示成x的函数；

（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？

（24）解：

（Ⅰ）

（Ⅱ）依题意，x满足

{

解不等式组，其解集为【9，23】

所以

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