19.(本小题满分14分)
设各项均为正数的数列的前项和为,满足且构成等比数列.
(1) 证明:;
(2) 求数列的通项公式;
(3) 证明:对一切正整数,有.
【解析】(1)当时,,
(2)当时,,
,
当时,是公差的等差数列.
构成等比数列,,,解得,
由(1)可知,
是首项,公差的等差数列.
数列的通项公式为.
(3)
【解析】本题考查很常规,第(1)(2)两问是已知求,是等差数列,第(3)问只需裂项求和即可,估计不少学生猜出通项公式,跳过第(2)问,作出第(3)问.本题易错点在分成,来做后,不会求,没有证明也满足通项公式.
20.(本小题满分14分)
已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(1) 求抛物线的方程;
(2) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;
(3) 当点在直线上移动时,求的最小值.
【解析】(1)依题意,解得(负根舍去)
抛物线的方程为;
(2)设点,,,
由,即得.
∴抛物线在点处的切线的方程为,
即.
∵, ∴ .
∵点在切线上,∴. ①
同理, . ②
综合①、②得,点的坐标都满足方程 .
∵经过两点的直线是唯一的,
∴直线 的方程为,即;
(3)由抛物线的定义可知,
所以
联立,消去得,
当时,取得最小值为
【解析】2013广州模直接命中了这一题,广一模20题解法2正是本科第(2)问的解法,并且广一模大题结构和高考完全一致. 紫霞仙子:我的意中人是个盖世英雄,有一天他会踩着七色云彩来娶我,我只猜中了前头,可是我却猜不中这结局……形容这次高考,妙极!
21.(本小题满分14分)
设函数 .
(1) 当时,求函数的单调区间;
(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值.
【解析】:
(1)当时
,在上单调递增.
(2)当时,,其开口向上,对称轴 ,且过
(i)当,即时,,在上单调递增,
从而当时, 取得最小值 ,
当时, 取得最大值.
(ii)当,即时,令
解得:,注意到,
(注:可用韦达定理判断,,从而;或者由对称结合图像判断)
的最小值,
的最大值
综上所述,当时,的最小值,最大值
解法2(2)当时,对,都有,故
故,而 ,
所以 ,
【解析】:看着容易,做着难!常规解法完成后,发现不用分类讨论,奇思妙解也出现了:结合图像感知 时最小,时最大,只需证即可,避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值,需要因式分解比较深的功力,这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.