三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数,.
(1)求的值;
(2)设,,,求的值.
16.解:(1)
(2),即
,即
∵,
∴,
∴
17.(本小题满分13分)
为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
169 | 178 | 166 | 175 | 180 | |
75 | 80 | 77 | 70 | 81 |
(1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;
(2)当产品中的微量元素满足且时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值(即数学期望).
17.解:(1)设乙厂生产的产品数量为件,则,解得
所以乙厂生产的产品数量为35件
(2)从乙厂抽取的5件产品中,编号为2、5的产品是优等品,即5件产品中有2件是优等品
由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为(件)
(3)可能的取值为0,1,2
∴的分布列为:
0 | 1 | 2 | |
∴
18.(本小题满分13分)
如图5,在锥体中,是边长为1的菱形,且,,,
分别是的中点.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的余弦值.
18.(1)证明:取的中点,连接
∵,∴
∵在边长为1的菱形中,
∴△是等边三角形
∴,
∴平面
∴
∵分别是的中点
∴∥,∥
∴,,
∴平面
(2)解:由(1)知,
∴是二面角的平面角
易求得
∴
∴二面角的余弦值为
19.(本小题满分14分)
设圆与两圆,中的一个内切,另一个外切.
(1)求的圆心轨迹的方程;
(2)已知点,,且为上动点,求的最大值及此时点的坐标.
19.解:(1)设,圆的半径为,
则
∴的圆心轨迹是以为焦点的双曲线,,,
∴的圆心轨迹的方程为
(2)
∴的最大值为2,此时在的延长线上,
如图所示,必在的右支上,且,
直线的斜率
∵,∴,
∴的最大值为2,此时为