三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，

． （I）求的面积； （II）若，求的值．

解析：（I）因为，，又由，得，

（II）对于，又，或，由余弦定理得，

19．（本题满分14分）在这个自然数中，任取个数．

（I）求这个数中恰有个是偶数的概率；

（II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数

和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．

解析：

（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；

（II）随机变量的取值为的分布列为

所以的数学期望为

20．（本题满分15分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．

（I）设是的中点，证明：平面；

（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．

证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，

则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面

（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为．

21．（本题满分15分）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．

（I）求椭圆的方程；

（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．

解析：

（I）由题意得所求的椭圆方程为，

（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，

设线段MN的中点的横坐标是，则，

设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；

当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．

22．（本题满分14分）已知函数，，

其中．

（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；

（II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

解析：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得

，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；

（II）当时有；

当时有，因为当时不合题意，因此，

下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；

当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；

同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．

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