一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）是虚数单位，复数（　　）

（A） （B）　 （C） （D）

解：，选A.

（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（　　）

（A）2　　 （B）3　 （C）4　　　 （D）5

解：作出可行域，如图

结合图象可知，当目标函数通过点时，取得最小值3，选B.

（3）已知命题：，总有，则为（　　）

（A），使得 （B），使得

（C），总有 （D），总有

解：依题意知为：，使得，选B.

（4）设，，，则（　　）

（A） （B） （C） （D）

解：因为，，，所以，选C.

（5）设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则（　　）

（A）2　　（B）-2　　（C）　　 （D）

解：依题意得，所以，解得，选D.

（6）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（　　）

（A）　　 （B）

（C）　 　（D）

解：依题意得，所以，，选A.

（7）如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下，给出下列四个结论：①平分；②；③；④.则所有正确结论的序号是（　　）

（A）①② （B）③④ （C）①②③ （D）①②④

解：由弦切角定理得，

又，

所以∽，所以，

即，排除A、C.

又，排除B，选D.

（8）已知函数，，在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（　　）

（A）　　（B）　　（C）　　 （D）

解：因为，所以得，

所以或，.

因为相邻交点距离的最小值为，所以，，，选C.

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）

（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.

解：应从一年级抽取名.

（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______.

解：该几何体的体积为.

（11）阅读右边的框图，运行相应的程序，输出的值为________.

解：时，；时，，所以输出的的值为-4.

（12）函数的单调递减区间值是________.

解：由复合函数的单调性知，的单调递减区间是.

（13）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，.若，则的值为_______.

解：因为，菱形的边长为2，所以.

因为，，

解得.

（14）已知函数

，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为__________.

解：作出的图象，如图

当直线与函数相切时，由可得，所以；又当时，在轴右侧只有一个交点，∴，

所以，实数的取值范围为.

三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

（15）（本小题满分13分）

某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选中的可能性相同）.

（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；

（Ⅱ）设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发表的概率.

解：（Ⅰ）所有可能的结果共有15种：

.

（Ⅱ）符合条件的有，

∴.

（16）（本小题满分13分）

在中，内角的对边分别为.已知，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.

解：（Ⅰ）∵，∴，

代入，解得，

由余弦定理得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

∴，，

∴.

（17）（本小题满分13分）

如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，分别是棱，的中点.

（Ⅰ）证明 平面；

（Ⅱ）若二面角为，

（ⅰ）证明 平面平面；

（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

（解法一）（Ⅰ）证明：连结，，则是

、的中点， 连结，

则，，

∴，又，

故.

（Ⅱ）（ⅰ）∵，，∴是等腰直角三角形.

取的中点，则，,∴是二面角的平面角，即

又，且，

由余弦定理得，∴.

∵，∴，又，∴，

∴，又，∴平面平面.

（ⅱ）∵，∴，

由（ⅰ）知平面平面，∴，

所以是与所成的角.

在中，，，∴，

∴，即直线与平面所成角的正弦值是.

（解法二）（Ⅰ）、证明：取的中点，连结，

∵ ， ，∴ ，

所以四边形是平行四边形，∴，

又 ，∴.

（Ⅱ）同解法一.

（18）（本小题满分13分）

设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切于点，，求椭圆的方程.

（Ⅰ）解：依题意得，∴，解得，.1

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知椭圆方程可化为.

因为，所以直线的斜率.

因为，所以直线的斜率，

直线的方程为.

设，则有，解得或（舍），所以.

因为线段的中点为，所以圆的方程为.

因为直线与该圆相切，且，所以，解得.

所以椭圆方程为.

（19）（本小题满分14分）

已知函数，.

（Ⅰ）求的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对于任意的，都存在，使得.求的取值范围.

（Ⅰ）解：因为，所以.

令得或.

因为当或时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，.

（Ⅱ）解：由及（Ⅰ）知，当时，；当时，.

设，，则“对于任意的，都存在，使得”等价于.显然.下面分三种情况讨论

⑴当，即时，由可知，，但，∴.

⑵当，即时，，且此时在单调递减，故，因此；由知在上的取值范围包含，则.所以此时满足.

⑶当，即时，因为，且在上单调递减，所以；又，，所以.

综上，的取值范围是.

（20）（本小题满分14分）

已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，集合.

（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；

（Ⅱ）设，，，其中，. 证明：若，则.

（Ⅰ）解：当，时，，，

.

（Ⅱ）证明：因为，所以，所以，，.

所以

.

所以，若，则.

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