一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则

（A）（B）（C）（D）

（2）设集合，，则

（A）（B）（C）（D）

（3）函数的定义域为

（A）（B）（C）（D）

（4）用反证法证明命题：“已知为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是

（A）方程没有实根（B）方程至多有一个实根

（C）方程至多有两个实根（D）方程恰好有两个实根

（5）已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是

（A）（B）

（C）（D）

（6）直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为

（A）（B）（C）2（D）4

（7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为

（A）1（B）8（C）12（D）18

（8）已知函数，，若有两个不相等的实根，则实数的取值范围是

（A）（B）（C）（D）

（9）已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为

（A）5（B）4（C）（D）2

（10）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为

（A）（B）（C）（D）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

（11）执行右面的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为__________ .

（12）在中，已知，当时，的面积为__________ .

（13）三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则__________ .

（14）若的展开式中项的系数为20，则的最小值为 __________ .

（15）已知函数.对函数，定义关于的“对称函数”为，满足：对任意，两个点，关于点对称.若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是 __________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

（16）（本小题满分12分）

已知向量，，设函数，且的图象过点和点.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.

（17）（本小题满分12分）

如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.

（18）（本小题满分12分）

乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，

甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：

（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.

（19）（本小题满分12分）

已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列的前项和.

（20）（本小题满分13分）

设函数（为常数，是自然对数的底数）.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.

（21）（本小题满分14分）

已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，

（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

2014年山东高考数学（理科）试题解析

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】D

【解析】与互为共轭复数，

2.【答案】C

【解析】

3.【答案】C

【解析】

4.【答案】A

【解析】“至少有一个”的对立面应是“没有”,故选A

5.【答案】D

【解析】但不能判断（如）排除A,B;是周期函数，排除C;是单调递增函数，D正确.

6.【答案】D

【解析】联立，且在第一象限，得

所求面积

7.【答案】C

【解析】第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4，

8.【答案】B

【解析】画出的图像，最低点是，过原点和时斜率最小为；斜率最大时的斜率与的斜率一致.

9.【答案】B

【解析】联立，得交点坐标，则，即圆心（0,0）到直线的距离的平方.

10.【答案】A

【解析】

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）

11.【答案】3

【解析】根据判断条件，得

输入

第一次判断后循环，

第二次判断后循环，

第三次判断后循环，

第四次判断不满足条件，结束循环，输出

12.【答案】

【解析】由条件可知当

13.【答案】

【解析】分别过向平面PAB做高，由为的中点得，

由为的中点得，所以

14.【答案】2

【解析】将展开，得到，令.

由，得，所以.

15.【答案】

【解析】由题意得的图像位于直线的两侧，要使恒成立，则的图像应位于直线的右下方.根据图像分析得，当与在第二象限相切时，，由恒成立得.

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.解：（Ⅰ）已知，

过点

解得

（Ⅱ）

左移后得到

设的对称轴为，解得

，解得

的单调增区间为

17.解：（Ⅰ）连接

为四棱柱，

又为的中点，

,

,

为平行四边形

又

（Ⅱ）方法一：

作,连接

则即为所求二面角

在中，

在中，,

方法二：作于点

以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，

设平面的法向量为

显然平面的法向量为

.

显然二面角为锐角，

所以平面和平面所成角的余弦值为

18.解：（I）设恰有一次的落点在乙上这一事件为

（II）

.

19.解：（I）

解得

（II）

解：（I）函数的定义域为

由可得，

所以 当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以，的单调递减区间为，单调递增区间为.

(II)由（I）知，时，函数在内单调递减，

所以在内不存在极值点；

当时，设函数.

，

当时，当时，单调递增.

所以在内不存在两个极值点；

当时，得：当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增.

所以函数的最小值为.

函数在内存在两个极值点,当且仅当

解得

综上所述，函数在内存在两个极值点时，的取值范围为.

解：（I）由题意知.

设，则的中点为

,由抛物线的定义知，

解得（舍去）

由解得

所以抛物线的方程为.

（II）（i）由（I）知

设

，

由得

所以直线AB的斜率

因为直线与直线AB平行，

所以设直线的方程为，

代入，得

由题意得得

设,则.

当时，，

由，整理得，

直线AE恒过点

当时，直线AE的方程为，过点

所以 直线AE过定点

（ii）由（i）得直线AE过焦点

设直线AE的方程为

因为点在直线AE上，

设,直线AB的方程为

，

代入抛物线方程，得：

所以点B到直线AE的距离为

则的面积

当且仅当，即时等号成立.

所以的面积的最小值为16.

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