18.(本小题满分13分)
如图5所示,在四棱锥中,平面,,,是的中点,是上的点且,为△中边上的高.
(1)证明:平面;
(2)若,,,求三棱锥的体积;
(3)证明:平面.
18. 解:(1)证明:因为平面,
所以
因为为△中边上的高
所以
因为
所以平面
(2)连结,取中点,连结
因为是的中点,
所以
因为平面
所以平面
则
(3)证明:取中点,连结,
因为是的中点
所以
因为
所以
所以四边形是平行四边形
所以
因为
所以
因为平面,
所以
因为
所以平面
所以平面
19. (本小题满分14分)
设数列前项和为,数列的前项和为,满足,.
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式.
19. 解:(1)当时,
因为,所以,求得
(2)当时,
所以 ①
所以 ②
②①得
所以,即
求得,,则
所以是以3为首项,2为公比的等比数列
所以
所以,
20.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的左焦点为,且点在上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线同时与椭圆和抛物线:相切,求直线的方程.
20. 解:(1)因为椭圆的左焦点为,所以,
点代入椭圆,得,即,
所以
所以椭圆的方程为.
(2)直线的斜率显然存在,设直线的方程为,
,消去并整理得
因为直线与椭圆相切,所以
整理得 ①
,消去并整理得
因为直线与抛物线相切,所以
整理得 ②
综合①②,解得或
所以直线的方程为或
21.(本小题满分14分)
设,集合,,.
(1)求集合(用区间表示)
(2)求函数在内的极值点.
21. 解:(1)令
① 当时,,
方程的两个根分别为,
所以的解集为
因为,所以
② 当时,,则恒成立,所以
综上所述,当时,;
当时,
(2),
令,得或
① 当时,由(1)知
因为,
所以,
所以随的变化情况如下表:
0 | ||||
↗ | 极大值 | ↘ | ↗ |
所以的极大值点为,没有极小值点
② 当时,由(1)知
所以随的变化情况如下表:
0 | 0 | ||||
↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以的极大值点为,极小值点为
综上所述,当时,有一个极大值点,没有极小值点;
当时,有一个极大值点,一个极小值点