19．（本小题满分14分）

设，讨论函数的单调性．

19．解：函数的定义域为

令

① 当时，，令，解得

则当或时，

当时，

则在，上单调递增，

在上单调递减

② 当时，，，则在上单调递增

③ 当时，，令，解得

∵，∴

则当时，

当时，

则在上单调递增，在上单调递减

20．（本小题满分14分）

设，数列满足，≥．

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数，≤．

20．（1）解：∵

∴

∴

① 当时，，则是以1为首项，1为公差的等差数列

∴，即

② 当且时，

当时，

∴是以为首项，为公比的等比数列

∴

∴

∴

综上所述

（2）证明：① 当时，；

② 当且时，

要证，只需证，

即证

即证

即证

即证

∵

，∴原不等式成立

∴对于一切正整数，≤．

21．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系上，直线：交轴于点．设是上一点，是线段的垂直平分线上一点，且满足．

（1）当点在上运动时，求点的轨迹的方程；

（2）已知，设是上动点，求的最小值，并给出此时点的坐标；

（3）过点且不平行于轴的直线与轨迹有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．

21．解：（1）如图所示，连接，则

∵，

∴动点满足或在的负半轴上，设

① 当时，，

，化简得

② 当在的负半轴上时，

综上所述，点的轨迹的方程为或

（2）由（1）知的轨迹是顶点为，焦点为原点的抛物线和的负半轴

① 若是抛物线上的动点，过作于

由于是抛物线的准线，根据抛物线的定义有

则

当三点共线时，有最小值

求得此时的坐标为

② 若是的负半轴上的动点

显然有

综上所述，的最小值为3，此时点的坐标为

（3）如图，设抛物线顶点，则直线的斜率

∵点在抛物线内部，

∴过点且不平行于轴的直线必与抛物线有两个交点

则直线与轨迹的交点个数分以下四种情况讨论：

① 当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点

② 当时，直线与轨迹有且只有三个不同的交点

③ 当时，直线与轨迹有且只有一个交点

④ 当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点

综上所述，直线的斜率的取值范围是

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