20．（本小题满分12分）

在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求直线与平面所成的角的大小；

（3）求点到平面的距离.

解：

方法一：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。

又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，

所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD，

所以平面ABM⊥平面PCD。

（2）由（1）知，，又，则是的中点可得

，

则

设D到平面ACM的距离为，由即，

可求得，

设所求角为，则，。

（3） 可求得PC=6。因为AN⊥NC，由，得PN。所以。

故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。

又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为。

方法二：

（1）同方法一；

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则

。设所求角为，则，

所以所求角的大小为。

（3）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。

21．（本小题满分12分）

已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于.

(1) 求线段的中点的轨迹的方程;

(2) 设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点.

解： (1) 由已知得,则直线的方程为:,

令得,即,

设,则,即代入得:,

即的轨迹的方程为.

(2) 在中令得,则不妨设,

于是直线的方程为:,直线的方程为:,

则,

则以为直径的圆的方程为: ,

令得:,而在上,则,

于是,即以为直径的圆过两定点.

22．（本小题满分14分）

各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有

（1）当时，求通项

（2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有

解：（1）由得

将代入化简得

所以

故数列为等比数列，从而

即

可验证，满足题设条件.

(2) 由题设的值仅与有关,记为则

考察函数 ,则在定义域上有

故对， 恒成立.

又 ,

注意到,解上式得

取,即有 .

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