19．解：（1）由 得

则有=

得 即.

（2） 由 推出 ；而,

即得,

则有 解得 .

20．解：方法（一）：

（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.

因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，

所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.

（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，

由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，

所以 就是与平面所成的角，

且

所求角为

（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.

因为在Rt△PAD中，，，所以为中点，，则O点到平面ABM的距离等于。

方法二：

（1）同方法一；

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，

设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则，

所求角的大小为.

（3）设所求距离为，由，得：

21. 解: (1) 由于,故

,

故 ()

(2)

两式相减得

故

22．解: （1）设，过圆心作于,交长轴于

由得,

即 (1)

而点在椭圆上, (2)

由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）

(2) 设过点与圆相切的直线方程为: (3)

则,即 (4)

解得

将(3)代入得,则异于零的解为

设,，则

则直线的斜率为：

于是直线的方程为:

即

则圆心到直线的距离

故结论成立.

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