（20）（本题满分15分）如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2

Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，

使得二面角A-MC-β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。

【解析】：本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分

法一：（Ⅰ）证明：如图，以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，由此可得 ，所以 ，即

（Ⅱ）解：设 ，则，

，，

设平面的法向量，

综上所述，存在点M 符合题意，

法二（Ⅰ）证明：

又因为所以平面故

（Ⅱ）如图，在平面内作

由（Ⅰ）知得平面，

又平面所以平面平面

在中，得

在中，，

在中，所以得，

在中，得又

从而，所以综上所述，存在点M 符合题意，

（21）（本题满分15分）已知抛物线:，圆:的圆心为点M（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程

【解析】：（Ⅰ）由得准线方程为，由得M，点M到抛物线的准线的距离为

（Ⅱ）设点 ，， 由题意得设过点的圆的切线方程为即① 则

求实数的取值范围，，使得对任意恒有成立

注：为自然对数的底数

【解析】：（Ⅰ）由得准线方程为，由得M，

点M到抛物线的准线的距离为

（Ⅱ）设点 ，， 由题意得设过点的圆的切线方程为即① 则

即设，的斜率为（）则是上述方

程的两个不相等的根，将代入①得

由于是方程的根故，所以，

，

所以或

（Ⅱ）①当时， 对于任意实数，恒有 成立

②当 时，由题意，首先有

解得 由（Ⅰ）知

令 则，

且

又在 内单调递增，所以函数 在内有唯一零点，记此零点为 ，则，从而，当 时， 当 时

当 时 即 在内单调递增，在内单调递减，

在 内单调递增。所以要使对恒成立，

只要成立，由，知 将（3）代入（1）得又。注意到函数在内单调递增，故

再由（3）以及函数在 内单调递增，可得 ，

由（2）解得 ，所以

综上，的取值范围为

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