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五、解答题（共1小题，满分14分）
23．（14分）(2014年贵州黔西南州)我州实施新课程改革后，学生的自主字习、合作交流能力有很大提高．某学校为了了解学生自主学习、合作交流的具体情况，对部分学生进行了为期半个月的跟踪调査，并将调査结果分类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差．现将调査结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调査了 50 名同学，其中C类女生有 8 名；
（2）将下面的条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，学校想从被调査的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男生、一位女生的概率．
考点： 条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．
分析： （1）由扇形图可知，B类总人数为10+15=25人，由条形图可知B类占50%，则样本容量为：25÷50%=50人；由条形图可知，C类占40%，则C类有50×40%=20人，结合条形图可知C类女生有20﹣12=8人；
（2）根据（1）中所求数据补全条件统计图；
（3）根据被调査的A类和D类学生男女生人数列表即可得出答案．
解答： 解：（1）样本容量：25÷50%=50，
C类总人数：50×40%=20人，
C类女生人数：20﹣12=8人．
故答案为：50，8；
（2）补全条形统计图如下：
（3）将A类与D类学生分为以下几种情况：
男A 女A1 女A2
男D 男A男D 女A1男D 女A2男D
女D 女D男A 女A1女D 女A2女D
∴共有6种结果，每种结果出现可能性相等，
∴两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：
P（一男一女）=
=
．
点评： 此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
六、解答题（共14分）
24．（14分）(2014年贵州黔西南州)为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准见表：
一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时）
不超过160千瓦时的部分 x
超过160千瓦时的部分 x+0.15
某居民五月份用电190千瓦时，缴纳电费90元．
（1）求x和超出部分电费单价；
（2）若该户居民六月份所缴电费不低于75元且不超过84元，求该户居民六月份的用电量范围．
考点： 一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．
分析： （1）等量关系为：不超过160千瓦时电费+超过160千瓦时电费=90；
（2）设该户居民六月份的用电量是a千瓦时．则依据收费标准列出不等式75≤160×0.45+0.6（a﹣160）≤84．
解答： 解：（1）根据题意，得
160x+（190﹣160）（x+0.5）=90，
解得 x=0.45；
则超出部分的电费单价是x+0.15=0.6（元/千瓦时）．
答：x和超出部分电费单价分别是0.45和0.6元/千瓦时；
（2）设该户居民六月份的用电量是a千瓦时．则
75≤160×0.45+0.6（a﹣160）≤84，
解得 165≤a≤180．
答：该户居民六月份的用电量范围是165度到180度．
点评： 本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量（不等量）关系，列方程（不等式）求解．
七、解答题（共12分）
25．（12分）(2014年贵州黔西南州)已知点P（x0，y0）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式d=
计算．
例如：求点P（﹣2，1）到直线y=x+1的距离．
解：因为直线y=x+1可变形为x﹣y+1=0，其中k=1，b=1．
所以点P（﹣2，1）到直线y=x+1的距离为d=
=
=
=
．
根据以上材料，求：
（1）点P（1，1）到直线y=3x﹣2的距离，并说明点P与直线的位置关系；
（2）点P（2，﹣1）到直线y=2x﹣1的距离；
（3）已知直线y=﹣x+1与y=﹣x+3平行，求这两条直线的距离．
考点： 一次函数综合题．
分析： （1）根据条件的P的坐标和点到直线的距离公式可以直接求出结论；
（2）直接将P点的坐标代入公式d=
就可以求出结论；
（3）在直线y=﹣x+1任意取一点P，求出P点的坐标，然后代入点到直线的距离公式d=就可以求出结论．
解答： 解：（1）∵点P（1，1），
∴点P到直线y=3x﹣2的距离为：
d=
=0，
∴点P在直线y=3x﹣2上；
（2）由题意，得
∵y=2x﹣1
∴k=2，b=﹣1．
∵P（2，﹣1），
∴d=
=
．
∴点P（2，﹣1）到直线y=2x﹣1的距离为；
（3）在直线y=﹣x+1任意取一点P，
当x=0时，y=1．
∴P（0，1）．
∵直线y=﹣x+3，
∴k=﹣1，b=3，
∴d=
=
，
∴两平行线之间的距离为．
点评： 本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式的运用，由函数的解析式求点的坐标的运用，平行线的性质的运用，解答时掌握点到直线的距离公式是关键．
八、解答题（共16分）
26．（16分）(2014年贵州黔西南州)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，则代入求得a，b，c，进而得解析式与顶点D．
（2）由P在AD上，则可求AD解析式表示P点．由S△APE=
•PE•yP，所以S可表示，进而由函数最值性质易得S最值．
（3）由最值时，P为（﹣
，3），则E与C重合．画示意图，P'过作P'M⊥y轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得P'坐标．判断P′是否在该抛物线上，将xP'坐标代入解析式，判断是否为yP'即可．
解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，
∴
，
解得
，
∴解析式为y=﹣x2﹣2x+3
∵﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．
（2）∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），
∴设AD为解析式为y=kx+b，有
，
解得
，
∴AD解析式：y=2x+6，
∵P在AD上，
∴P（x，2x+6），
∴S△APE=•PE•yP=
•（﹣x）•（2x+6）=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），当x=﹣
=﹣
时，S取最大值
．
（3）如图1，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，
∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（﹣，3），
∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=
，
∵PF∥y轴，
∴∠PFE=∠FEN，
∵∠PFE=∠P′FE，
∴∠FEN=∠P′FE，
∴EN=FN，
设EN=m，则FN=m，P′N=3﹣m．
在Rt△P′EN中，
∵（3﹣m）2+（）2=m2，
∴m=
．
∵S△P′EN=
•P′N•P′E=•EN•P′M，
∴P′M=
．
在Rt△EMP′中，
∵EM=
=
，
∴OM=EO﹣EM=
，
∴P′
（
，）．
当x=时，y=﹣（）2﹣2•+3=
≠，
∴点P′不在该抛物线上．
点评： 本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数图象、性质及设边长利用勾股定理解直角三角形等常规考点，题目考点适中，考法新颖，适合学生练习巩固．
