四、实践应用：（本大题共4个小题，其中第21小题6分，地22、23、24小题各8分，共30分）

21．（6分）（2013•广安）6月5日是“世界环境日”，广安市某校举行了“洁美家园”的演讲比赛，赛后整理参赛同学的成绩，将学生的成绩分成A、B、C、D四个等级，并制成了如下的条形统计图和扇形图（如图1、图2）．

（1）补全条形统计图．

（2）学校决定从本次比赛中获得A和B的学生中各选出一名去参加市中学生环保演讲比赛．已知A等中男生有2名，B等中女生有3 名，请你用“列表法”或“树形图法”的方法求出所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的概率．

考点： 条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．

专题： 计算题

分析： （1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，进而求出等级B的人数，补全条形统计图即可；

（2）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．

解答：

解：（1）根据题意得：3÷15%=20（人），

故等级B的人数为20﹣（3+8+4）=5（人），

补全统计图，如图所示；

（2）列表如下：

男 男 女 女 女

男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男） （女，男）

男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男） （女，男）

女 （男，女） （男，女） （女，女） （女，女） （女，女）

所有等可能的结果有15种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有8种，

则P恰好是一名男生和一名女生=．

点评： 此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．

22．（8分）（2013•广安）某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于1.5万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格．

设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．

（1）试写出y与x的函数关系式；

（2）商场有哪几种进货方案可供选择？

（3）选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）y=（空调售价﹣空调进价）x+（彩电售价﹣彩电进价）×（30﹣x）；

（2）根据用于一次性购进空调、彩电共30台，总资金为12.8万元，全部销售后利润不少于1.5万元．得到一元一次不等式组，求出满足题意的x的正整数值即可；

（3）利用y与x的函数关系式y=150x+6000的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可．

解答： 解：（1）设商场计划购进空调x台，则计划购进彩电（30﹣x）台，由题意，得

y=（6100﹣5400）x+（3900﹣3500）（30﹣x）=300x+12000；

（2）依题意，有，

解得10≤x≤12．

∵x为整数，

∴x=10，11，12．

即商场有三种方案可供选择：

方案1：购空调10台，购彩电20台；

方案2：购空调11台，购彩电19台；

方案3：购空调12台，购彩电18台；

（3）∵y=300x+12000，k=300＞0，

∴y随x的增大而增大，

即当x=12时，y有最大值，y最大=300×12+12000=15600元．

故选择方案3：购空调12台，购彩电18台时，商场获利最大，最大利润是15600元．

点评： 本题主要考查了一次函数和一元一次不等式组的实际应用，难度适中，得出商场获得的利润y与购进空调x的函数关系式是解题的关键．在解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．

23．（8分）（2013•广安）如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．

（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；

（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

专题： 应用题．

分析： （1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出FG的长，同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF=FG+GH﹣AH求出AF的长．

（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．

解答： 解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，

∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，

∴DH平行且等于EG，

故四边形EGHD是矩形，

∴ED=GH，

在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=8÷tan45°=8（米），

在Rt△FGE中，i=1：2=，

∴FG=2EG=16（米），

∴AF=FG+GH﹣AH=16+2﹣8=10（米）；

（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长=×（2+10）×8×400=19200（立方米）．

答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为10米；（2）完成这项工程需要土石19200立方米．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．

24．（8分）（2013•广安）雅安芦山发生7.0级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，请作出所有不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径（结果保留根号）．

考点： 作图—应用与设计作图．

专题： 作图题．

分析： 分直径在直角边AC、BC上和在斜边AB上三种情况分别求出半圆的半径，然后作出图形即可．

解答： 解：根据勾股定理，斜边AB==4，

①如图1、图2，直径在直角边BC或AC上时，

∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，

∴=，

解得r=4﹣4，

②如图3，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，

∴=，

解得r=2，

作出图形如图所示：

点评： 本题考查了应用与设计作图，主要利用了直线与圆相切，相似三角形对应边成比例的性质，分别求出半圆的半径是解题的关键．

五、理论与论证（9分）

25．（9分）（2013•广安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙0，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙0的切线．

（2）如果⊙0的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长．

考点： 切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形．

分析： （1）连结OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；

（2）由∠DAC=∠DAB，根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在Rt△ADE中可计算出AE=，然后由OD∥AE，

得△FDO∽△FEA，再利用相似比可计算出BF．

解答： （1）证明：连结OD，如图，

∵AB为⊙0的直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴AD平分BC，即DB=DC，

∵OA=OB，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴EF是⊙0的切线；

（2）解：∵∠DAC=∠DAB，

∴∠ADE=∠ABD，

在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD==，而AB=10，

∴AD=8，

在Rt△ADE中，sin∠ADE==，

∴AE=，

∵OD∥AE，

∴△FDO∽△FEA，

∴=，即=，

∴BF=．

点评： 本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形．

六、拓展探究（10分）

26．（9分）（2013•广安）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．

①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；

②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）

考点： 二次函数综合题．

专题： 代数几何综合题．

分析： （1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；

（2）①根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标；

②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标．

解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），

∴，

解得，

所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；

（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠BAO=45°，

∵PF⊥x轴，

∴∠AEF=90°﹣45°=45°，

又∵PD⊥AB，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PD越大，△PDE的周长越大，

易得直线AB的解析式为y=x+3，

设与AB平行的直线解析式为y=x+m，

联立，

消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，

当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，

即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，

此时x=﹣，y=﹣+=，

∴点P（﹣，）时，△PDE的周长最大；

②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=﹣=﹣1，

（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，

在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，

∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，

∴∠APF=∠QPM，

∵在△APF和△MPQ中，

，

∴△APF≌△MPQ（AAS），

∴PF=PQ，

设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=﹣1﹣n，

即PF=﹣1﹣n，

∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n），

∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，

∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n，

整理得，n2+n﹣4=0，

解得n1=（舍去），n2=，

﹣1﹣n=﹣1﹣=，

所以，点P的坐标为（，）；

（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，

∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，

∴∠FPA=∠QAN，

又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，

∴△APF≌△NAQ，

∴PF=AQ，

设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3），

则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，

解得x=﹣1（不合题意，舍去）或x=﹣﹣1，

此时点P坐标为（﹣﹣1，2）．

综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣﹣1，2）．

点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，（2）确定出△PDE是等腰直角三角形，从而判断出点P为平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时的位置是解题的关键，（3）根据全等三角形的性质用点P的横坐标表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键．

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