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2014年高考数学真题附解析(四川卷+理科)

来源:可可英语 编辑:max   可可英语APP下载 |  可可官方微信:ikekenet

一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合,集合为整数集,则


A. B. C. D.

【答案】A

【解析】,故

2.在的展开式中,含项的系数为

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】含项为

3.为了得到函数的图象,只需把函数的图象上

所有的点

A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度

C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度

【答案】A

【解析】因为,故可由函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到

4.若,则一定有

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由,又,由不等式性质知:,所以

5.执行如图1所示的程序框图,如果输入的,则输出的的最大值为

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】当时,函数的最大值为2,否则,的值为1.

6.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能拍甲,则不同的排法共有

A.种 B.种 C.种 D.

【答案】B

【解析】当最左端为甲时,不同的排法共有种;当最左端为乙时,不同的排法共有种。

共有+

7.平面向量),且的夹角等于的夹角,则

A. B. C. D.

【答案】D

【解析1】

因为,所以,又

所以

【解析2】由几何意义知为以为邻边的菱形的对角线向量,又


8.如图,在正方体中,点为线段的中点。设点在线段上,直线与平面所成的角为,则的取值范围是

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】直线与平面所成的角为的取值范围是

由于所以的取值范围是

9.已知。现有下列命题:

;②;③。其中的所有正确命题的序号是

A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②

【答案】C

【解析】故①正确

但左边的,右边的,故②不正确

时,

因为,所以单增,

,又为奇函数,所以成立故③正确

10.已知是抛物线的焦点,点在该抛物线上且位于轴的两侧,(其中

坐标原点),则面积之和的最小值是

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】设直线AB的方程为:,点,又,直线AB与轴的交点(不妨假设

,所以

因为点在该抛物线上且位于轴的两侧,所以,故

于是

当且仅当时取“

所以面积之和的最小值是


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二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。

11.复数_____________。

【答案】

【解析】


12.设是定义在R上的周期为2的函数,当时,,则 ___________。

【答案】

【解析】

13.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为,此时气球的高是,则河流的宽度BC约等于___________ 。(用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据:

【答案】

【解析】

14.设,过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点,则的最大值是___________。

【答案】

【解析】,因为,所以,故(当且仅当时取“”)

15.以表示值域为R的函数组成的集合,表示具有如下性质的函数组成的集合:对于函数,存在一个正数,使得函数的值域包含于区间。例如,当时,。现有如下命题:

①设函数的定义域为,则“”的充要条件是“”;

②函数的充要条件是有最大值和最小值;

③若函数的定义域相同,且,则

④若函数)有最大值,则

其中的真命题有___________ 。(写出所有真命题的序号)

【答案】①③④

三.解答题:本大题共6小题,共 75分。解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤。

16.已知函数

(1)求的单调递增区间;

(2)若是第二象限角,,求的值。

解:(1)由

所以的单调递增区间为

(2)由

因为

所以

是第二象限角,所以

①由

所以

②由

所以

综上,

17.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得分)。设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立。

(1)设每盘游戏获得的分数为,求的分布列;

(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?

(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。

解:(1)可能取值有,10,20,100

故分布列为

10

20

100

P

(2)由(1)知:每盘游戏出现音乐的概率是

则玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是

(3)由(1)知,每盘游戏获得的分数为的数学期望是

这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知:许多人经过若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而会减少。

18.三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示。设分别为线段的中点,为线段上的点,且

(1)证明:为线段的中点;

(2)求二面角的余弦值。

解:(1)由三棱锥及其侧视图、俯视图可知,在三棱锥中:

平面平面

的中点,连接

于是 所以平面

因为分别为线段的中点,所以,又,故

假设不是线段的中点,则直线与直线是平面内相交直线

从而平面,这与矛盾

所以为线段的中点

(2)以为坐标原点,分别为轴建立空间直角坐标系,

于是

设平面和平面的法向量分别为

,设,则

,设,则

所以二面角的余弦值


_ueditor_page_break_tag_19.设等差数列的公差为,点在函数的图象上()。

(1)若,点在函数的图象上,求数列的前项和

(2)若,函数的图象在点处的切线在轴上的截距为,求数列的前 项和

解:(1)点在函数的图象上,所以,又等差数列的公差为

所以

因为点在函数的图象上,所以,所以

,所以

(2)由

函数的图象在点处的切线方程为

所以切线在轴上的截距为,从而,故

从而

所以

20.已知椭圆C:)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q。

(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);

(ii)当最小时,求点T的坐标。

解:(1)依条件

所以椭圆C的标准方程为

(2)设,又设中点为

(i)因为,所以直线的方程为:

所以

于是

所以。因为

所以三点共线

即OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)

(ii)

所以,令

(当且仅当时取“”)

所以当最小时,,此时点T的坐标为

21.已知函数,其中为自然对数的底数。

(1)设是函数的导函数,求函数在区间上的最小值;

(2)若,函数在区间内有零点,求的取值范围

解:(1)因为 所以

因为 所以:

①若,则

所以函数在区间上单增,

②若,则

于是当,当

所以函数在区间上单减,在区间上单增,

③若,则

所以函数在区间上单减,

综上:在区间上的最小值为

(2)由,又

若函数在区间内有零点,则函数在区间内至少有三个单调区间

由(1)知当时,函数在区间上单调,不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求。

,则

。由

所以在区间上单增,在区间上单减

恒成立

于是,函数在区间内至少有三个单调区间

所以

综上,的取值范围为

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