一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合,集合
为整数集,则
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】,
,故
2.在的展开式中,含
项的系数为
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】含项为
3.为了得到函数的图象,只需把函数
的图象上
所有的点
A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动
个单位长度
C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动
个单位长度
【答案】A
【解析】因为,故可由函数
的图象上所有的点向左平行移动
个单位长度得到
4.若,
,则一定有
A. B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由,又
,由不等式性质知:
,所以
5.执行如图1所示的程序框图,如果输入的,则输出的
的最大值为
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】当时,函数
的最大值为2,否则,
的值为1.
6.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能拍甲,则不同的排法共有
A.种 B.
种 C.
种 D.
种
【答案】B
【解析】当最左端为甲时,不同的排法共有种;当最左端为乙时,不同的排法共有
种。
共有+
种
7.平面向量,
,
(
),且
与
的夹角等于
与
的夹角,则
A. B.
C.
D.
【答案】D
【解析1】
因为,
,所以
,又
所以即
【解析2】由几何意义知为以
,
为邻边的菱形的对角线向量,又
故
8.如图,在正方体中,点
为线段
的中点。设点
在线段
上,直线
与平面
所成的角为
,则
的取值范围是
A. B.
C.
D.
【答案】B
【解析】直线与平面
所成的角为
的取值范围是
,
由于,
,
所以
的取值范围是
9.已知,
。现有下列命题:
①;②
;③
。其中的所有正确命题的序号是
A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②
【答案】C
【解析】故①正确
但左边的,右边的
,故②不正确
当时,
令(
)
因为,所以
在
单增,
即,又
与
为奇函数,所以
成立故③正确
10.已知是抛物线
的焦点,点
,
在该抛物线上且位于
轴的两侧,
(其中
为
坐标原点),则与
面积之和的最小值是
A. B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设直线AB的方程为:,点
,
,又
,直线AB与
轴的交点
(不妨假设
)
由
,所以
又
因为点,
在该抛物线上且位于
轴的两侧,所以
,故
于是
当且仅当时取“
”
所以与
面积之和的最小值是
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
11.复数_____________。
【答案】
【解析】
12.设是定义在R上的周期为2的函数,当
时,
,则
___________。
【答案】
【解析】
13.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为,
,此时气球的高是
,则河流的宽度BC约等于___________
。(用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据:
,
,
,
,
)
【答案】
【解析】,
14.设,过定点A的动直线
和过定点B的动直线
交于点
,则
的最大值是___________。
【答案】
【解析】,
,因为
,所以
,故
(当且仅当
时取“
”)
15.以表示值域为R的函数组成的集合,
表示具有如下性质的函数
组成的集合:对于函数
,存在一个正数
,使得函数
的值域包含于区间
。例如,当
,
时,
,
。现有如下命题:
①设函数的定义域为
,则“
”的充要条件是“
,
,
”;
②函数的充要条件是
有最大值和最小值;
③若函数,
的定义域相同,且
,
,则
;
④若函数(
,
)有最大值,则
。
其中的真命题有___________ 。(写出所有真命题的序号)
【答案】①③④
三.解答题:本大题共6小题,共 75分。解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.已知函数。
(1)求的单调递增区间;
(2)若是第二象限角,
,求
的值。
解:(1)由
所以的单调递增区间为
(
)
(2)由
因为
所以
又是第二象限角,所以
或
①由(
)
所以
②由
所以
综上,或
17.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得分)。设每次击鼓出现音乐的概率为
,且各次击鼓出现音乐相互独立。
(1)设每盘游戏获得的分数为,求
的分布列;
(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?
(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。
解:(1)可能取值有
,10,20,100
,
,
,
故分布列为
10 | 20 | 100 | ||
P |
(2)由(1)知:每盘游戏出现音乐的概率是
则玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是
(3)由(1)知,每盘游戏获得的分数为的数学期望是
分
这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知:许多人经过若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而会减少。
18.三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示。设
,
分别为线段
,
的中点,
为线段
上的点,且
。
(1)证明:为线段
的中点;
(2)求二面角的余弦值。
解:(1)由三棱锥及其侧视图、俯视图可知,在三棱锥
中:
平面平面
,
设为
的中点,连接
,
于是,
所以
平面
因为,
分别为线段
,
的中点,所以
,又
,故
假设不是线段
的中点,则直线
与直线
是平面
内相交直线
从而平面
,这与
矛盾
所以为线段
的中点
(2)以为坐标原点,
、
、
分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系,
则,
,
,
于是,
,
设平面和平面
的法向量分别为
和
由,设
,则
由,设
,则
所以二面角的余弦值
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(1)若,点
在函数
的图象上,求数列
的前
项和
;
(2)若,函数
的图象在点
处的切线在
轴上的截距为
,求数列
的前
项和
。
解:(1)点在函数
的图象上,所以
,又等差数列
的公差为
所以
因为点在函数
的图象上,所以
,所以
又,所以
(2)由
函数的图象在点
处的切线方程为
所以切线在轴上的截距为
,从而
,故
从而,
,
所以
故
20.已知椭圆C:(
)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q。
(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);
(ii)当最小时,求点T的坐标。
解:(1)依条件
所以椭圆C的标准方程为
(2)设,
,
,又设
中点为
(i)因为,所以直线
的方程为:
所以
于是,
所以。因为
所以,
,
三点共线
即OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)
(ii),
所以,令
(
)
则(当且仅当
时取“
”)
所以当最小时,
即
或
,此时点T的坐标为
或
21.已知函数,其中
,
为自然对数的底数。
(1)设是函数
的导函数,求函数
在区间
上的最小值;
(2)若,函数
在区间
内有零点,求
的取值范围
解:(1)因为 所以
又
因为,
所以:
①若,则
,
,
所以函数在区间
上单增,
②若,则
,
于是当时
,当
时
,
所以函数在区间
上单减,在区间
上单增,
③若,则
,
所以函数在区间
上单减,
综上:在区间
上的最小值为
(2)由,又
若函数在区间
内有零点,则函数
在区间
内至少有三个单调区间
由(1)知当或
时,函数
即
在区间
上单调,不可能满足“函数
在区间
内至少有三个单调区间”这一要求。
若,则
令(
)
则。由
所以在区间
上单增,在区间
上单减
即
恒成立
于是,函数在区间
内至少有三个单调区间
又 所以
综上,的取值范围为