一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．[2014·湖北卷] 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁UA＝(　　)

A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}

C．{2，4，7} D．{2，5，7}

1．C　[解析] 由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得∁UA＝{2，4，7}．故选C.

2．[2014·湖北卷] i为虚数单位，＝(　　)

A．1 B．－1 C．i D．－i

2．B　[解析] ＝＝＝－1.故选B.

3．[2014·湖北卷] 命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是(　　)

A．∀x∈/R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝x

C．∃x0∈/R，x≠x0 D．∃x0∈R，x＝x0

3．D　[解析] 特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是“∃x0∈R，x＝x0”. 故选D.

4．[2014·湖北卷] 若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是(　　)

A．2 B．4 C．7 D．8

4．C　[解析] 作出约束条件表示的可行域如下图阴影部分所示．

设z＝2x＋y，平移直线2x＋y＝0，易知在直线x＋y＝4与直线x－y＝2的交点A(3，1)处，z＝2x＋y取得最大值7. 故选C.

5．[2014·湖北卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则(　　)

A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3

C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p2

5．C　[解析] 掷出两枚骰子，它们向上的点数的所有可能情况如下表：

则p1＝，p2＝，p3＝.故p1<p3<p2.故选C.

6．[2014·湖北卷] 根据如下样本数据

得到的回归方程为＝bx＋a，则(　　)

A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0

C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0

6．A　[解析] 作出散点图如下：

由图像不难得出，回归直线＝bx＋a的斜率b<0，截距a>0，所以a>0，b<0.故选A.

图1­1

7．[2014·湖北卷] 在如图1­1所示的空间直角坐标系O ­xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)

图1­2

A．①和② B．③和①

C．④和③ D．④和②

7．D　[解析] 由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.故选D.

8．、[2014·湖北卷] 设a，b是关于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

8．A　[解析] 由方程t2cos θ＋tsin θ＝0，解得t1＝0，t2＝－tan θ，不妨设点A(0，0)，B(－tan θ，tan2θ)，则过这两点的直线方程为y＝－xtan θ，该直线恰是双曲线－＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A.

9．、[2014·湖北卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)

A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}

C．{2－，1，3} D．{－2－，1，3}

9．D　[解析] 设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x .

求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．

当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；

当x<0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－.故选D.

10．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　)

A. B.

C. D.

10．B　[解析] 设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr.由题意得L2h≈Sh，代入S＝πr2化简得π≈3.类比推理，若V≈L2h时，π≈.故选B.

_ueditor_page_break_tag_11．[2014·湖北卷] 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．

11．1800　[解析] 设乙设备生产的产品总数为n，则＝，解得n＝1800.

12．、[2014·湖北卷] 若向量＝(1，－3)，

||＝||，·＝0，则||＝________．

12．2　[解析] 由题意知，＝(3，1)或OB＝(－3，－1)，所以AB＝OB－OA＝(2，4)或AB＝(－4，2)，所以|AB|＝＝2　.

13．[2014·湖北卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________．

13.或　[解析] 由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝.又因为b>a，所以B＝或.

14．[2014·湖北卷] 阅读如图1­3所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为 9，则输出S的值为________．

图1­3

14．1067　[解析] 第一次运行时，S＝0＋21＋1，k＝1＋1；

第二次运行时，S＝(21＋1)＋(22＋2)，k＝2＋1；

……

所以框图运算的是S＝(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(29＋9)＝1067.

15．[2014·湖北卷] 如图1­4所示，函数y＝f(x)的图像由两条射线和三条线段组成．

若∀x∈R，f(x)＞f(x－1)，则正实数a的取值范围为________．

图1­4

15.　[解析] “∀x∈R，f(x)>f(x－1)”等价于“函数y＝f(x)的图像恒在函数y＝f(x－1)的图像的上方”，函数y＝f(x－1)的图像是由函数y＝f(x)的图像向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a>0，由图知6a<1，所以a的取值范围为.

16．[2014·湖北卷] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.

(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；

(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．

16．(1)1900　(2)100　[解析] (1)依题意知，l>0，v>0，所以当l＝6.05时，

F＝＝≤＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．

(2)当l＝5时，

F＝＝≤2000，

当且仅当v＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．

17．[2014·湖北卷] 已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2，0)，若定点B(b，0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则

(1)b＝________；

(2)λ＝________．

17．(1)－　(2)　[解析] 设点M(cos θ，sin θ)，则由|MB|＝λ|MA|得(cos θ－b)2＋sin2θ＝λ2，即－2bcos θ＋b2＋1＝4λ2cos θ＋5λ2对任意的θ都成立，所以又由|MB|＝λ|MA|，得λ>0，且b≠－2，解得

18．[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：

f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．

(1)求实验室这一天上午8时的温度；

(2)求实验室这一天的最大温差．

18．解：(1)f(8)＝10－cos－sin＝10－cos－sin＝10－×－＝10.

故实验室上午8时的温度为10 ℃.

(2)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，

又0≤t<24，

所以≤t＋<，所以－1≤sin≤1.

当t＝2时，sin＝1；

当t＝14时，sin＝－1.

于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.

故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.

19．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式．

(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

19．解：(1)设数列{an}的公差为d，

依题意知，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，

化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4，

当d＝0时，an＝2；

当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，

从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.

(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n<60n＋800，

此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．

当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.

令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，

解得n>40或n<－10(舍去)，

此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.

综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；

当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.

20．、[2014·湖北卷] 如图1­5，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：

(1)直线BC1∥平面EFPQ；

(2)直线AC1⊥平面PQMN.

图1­5

20．证明：(1)连接AD1，由ABCD ­ A1B1C1D1是正方体，

知AD1∥BC1.

因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.

从而BC1∥FP.

而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，

故直线BC1∥平面EFPQ.

(2)如图，连接AC，BD，A1C1，则AC⊥BD.

由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

可得CC1⊥BD.

又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1.

而AC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥AC1.

因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.

同理可证PN⊥AC1.

又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.

21．[2014·湖北卷] π为圆周率，e＝2.718 28…为自然对数的底数．

(1)求函数f(x)＝的单调区间；

(2)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．

21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

因为f(x)＝，所以f′(x)＝.

当f′(x)>0，即0<x<e时，函数f(x)单调递增；

当f′(x)<0，即x>e时，函数f(x)单调递减．

故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．

(2)因为e<3<π，所以eln 3<eln π，πln e<πln 3，

即ln 3e<ln πe，ln eπ<ln 3π.

于是根据函数y＝ln x，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增可得，3e<πe<π3，e3<eπ<3π.

故这6个数中的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．

由e<3<π及(1)的结论，得f(π)<f(3)<f(e)，

即<<.

由<， 得ln π3<ln3π，所以3π>π3.

由<，得ln 3e<ln e3，所以3e<e3.

综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.

22．[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程；

(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．

22．解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，

即＝|x|＋1，

化简整理得y2＝2(|x|＋x)．

故点M的轨迹C的方程为y2＝

(2)在点M的轨迹C中，

记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x<0)．

依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．

由方程组

可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①

当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，

得x＝.

故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.

当k≠0时，方程①的判别式

Δ＝－16(2k2＋k－1)．②

设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③

(i)若由②③解得k<－1或k>.

即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．

(ii)若或由②③解得k∈或－≤k<0.

即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．

当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．

故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．

(iii)若由②③解得－1<k<－或0<k<.

即当k∈∪时，直线l与C1有一个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．

综上所述，当k∈(－∞，－1)∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；

当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．

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