2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)参考答案
一、选择题
1-8 B .C. B. C D. D A A.
二、填空题
(一)必做题
9.【解析】;平均数
11.【解析】或,则或
11.【解析】,,,,则所求椭圆方程为.
12.【解析】由题知,,,
解得,.
(二)选做题
13.【解析】,得.
14.【解析】且
15.【解析】解法一:连结、,则,∵,,∴,则;解法二:,则.
三、解答题
16. 解:(1)∵与互相垂直,则,即,代入得,又,∴.
(2)∵,,∴,则,∴.
17. 解:(1)由图可知,解得;
(2);
(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为,则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为,一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为.
18. 解:(1)依题作点、在平面内的正投影、,则、分别为、的中点,连结、、、,则所求为四棱锥的体积,其底面面积为
,
又面,,∴.
(2)以为坐标原点,、、所在直线分别作轴,轴,轴,得、,又,,,则,,,
∴,,即,,
又,∴平面.
(3),,则,设异面直线所成角为,则.
19. 解:(1)联立与得,则中点,设线段的中点坐标为,则,即,又点在曲线上,
∴化简可得,又点是上的任一点,且不与点和点重合,则,即,∴中点的轨迹方程为().
(2)曲线,
即圆:,其圆心坐标为,半径
由图可知,当时,曲线与点有公共点;
当时,要使曲线与点有公共点,只需圆心到直线的距离,得,则的最小值为.
20. 解:(1)依题可设 (),则;
又的图像与直线平行
, ,
设,则
当且仅当时,取得最小值,即取得最小值
当时, 解得
当时, 解得
(2)由(),得
当时,方程有一解,函数有一零点;
当时,方程有二解,
若,,
函数有两个零点,即;
若,,
函数有两个零点,即;
当时,方程有一解, ,
函数有一零点
综上,当时, 函数有一零点;
当(),或()时,
函数有两个零点;
当时,函数有一零点.
21. 解:(1)设直线:,联立得,则,∴(舍去)
,即,∴
(2)证明:∵
∴
由于,可令函数,则,令,得,给定区间,则有,则函数在上单调递减,∴,即在恒成立,又,
则有,即.