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2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

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(18)(本小题满分13分)

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

如图,四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,BD=2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),AE、CF都与平面ABCD垂直,AE=1,CF=2.

(I)求二面角B-AF-D的大小;

(II)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.

本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识,考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。

解:(I)(综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O,过O作OG2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)AF,

G为垂足。连接BG、DG。由BD2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)AC,BD2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)CF得BD2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)平面ACF,故BD2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)AF。

于是AF2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)平面BGD,所以BG2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)AF,DG2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)AF,2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)BGD为二面角B-AF-D 的平面角。

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),得2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),得2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

(向量法)以A为坐标原点,2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)

设平面ABF的法向量2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),则由2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),得2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

同理,可求得平面ADF的法向量2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)知,平面ABF与平面ADF垂直,

二面角B-AF-D的大小等于2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

(II)连EB、EC、ED,设直线AF与直线CE相交于点H,则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。

过H作HP⊥平面ABCD,P为垂足。

因为EA⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,,所以平面ACFE⊥平面ABCD,从而2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

又因为2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

故四棱锥H-ABCD的体积2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

(19)(本小题满分12分)

已知函数2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),讨论2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)的单调性.

本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性,考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。

解:2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)的定义域是(0,+2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)),2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),二次方程2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)的判别式2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科).

① 当2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),即2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)时,对一切2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)都有2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),此时2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)上是增函数。

② 当2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),即2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)时,仅对2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),对其余的2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)都有2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),此时2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)上也是增函数。

③ 当2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),即2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)时,

方程2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)有两个不同的实根2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科).

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

+

0

_

0

+

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

单调递增2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

极大

单调递减2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

极小

单调递增

此时2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)上单调递增, 在2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)是上单调递减, 在2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)上单调递增.

(20)(本小题满分13分)

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)在椭圆2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)上,2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)直线2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)与直线2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),直线2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)的倾斜角为2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科).

(I)证明: 点2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)是椭圆2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)与直线2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)的唯一交点;

(II)证明:2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)构成等比数列.

解:本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程,直线和曲线的几何性质,等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。

解:(I)(方法一)由2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)代入椭圆2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科).

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)代入上式,得2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)从而2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

因此,方程组2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)有唯一解2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),即直线2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)与椭圆有唯一交点P.

(方法二)显然P是椭圆与2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)的交点,若Q2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)是椭圆与2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)的交点,代入2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)的方程2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),得2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)故P与Q重合。

(方法三)在第一象限内,由2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)可得2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

椭圆在点P处的切线斜率2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

切线方程为2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

因此,2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)就是椭圆在点P处的切线。

根据椭圆切线的性质,P是椭圆与直线2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)的唯一交点。

(II)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)的斜率为2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)的斜率为2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

由此得2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)构成等比数列。

(21)(本小题满分13分)

首项为正数的数列2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)满足2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

(I)证明:若2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)为奇数,则对一切2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)都是奇数;

(II)若对一切2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)都有2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),求2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)的取值范围.

解:本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力,考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。

解:(I)已知2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)是奇数,假设2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)是奇数,其中2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)为正整数,

则由递推关系得2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)是奇数。

根据数学归纳法,对任何2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)都是奇数。

(II)(方法一)由2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)知,2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)当且仅当2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

另一方面,若2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科);若2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科),则2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

根据数学归纳法,2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

综合所述,对一切2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)都有2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)的充要条件是2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

(方法二)由2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)于是2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

因为2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)所以所有的2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)均大于0,因此2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)同号。

根据数学归纳法,2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)同号。

因此,对一切2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)都有2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)的充要条件是2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)2009年高考数学真题附解析(安徽卷+理科)

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