(18)(本小题满分13分)
如图,四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,BD=,AE、CF都与平面ABCD垂直,AE=1,CF=2.
(I)求二面角B-AF-D的大小;
(II)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.
本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识,考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。
解:(I)(综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O,过O作OGAF,
G为垂足。连接BG、DG。由BDAC,BDCF得BD平面ACF,故BDAF。
于是AF平面BGD,所以BGAF,DGAF,BGD为二面角B-AF-D 的平面角。
由, ,得,
由,得
(向量法)以A为坐标原点,、、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)
设平面ABF的法向量,则由得
令,得,
同理,可求得平面ADF的法向量。
由知,平面ABF与平面ADF垂直,
二面角B-AF-D的大小等于。
(II)连EB、EC、ED,设直线AF与直线CE相交于点H,则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。
过H作HP⊥平面ABCD,P为垂足。
因为EA⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,,所以平面ACFE⊥平面ABCD,从而
由得。
又因为
故四棱锥H-ABCD的体积
(19)(本小题满分12分)
已知函数,讨论的单调性.
本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性,考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。
解:的定义域是(0,+),
设,二次方程的判别式.
① 当,即时,对一切都有,此时在上是增函数。
② 当,即时,仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。
③ 当,即时,
方程有两个不同的实根,,.
+ | 0 | _ | 0 | + | |
单调递增 | 极大 | 单调递减 | 极小 | 单调递增 |
此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.
(20)(本小题满分13分)
点在椭圆上,直线与直线垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为,直线的倾斜角为.
(I)证明: 点是椭圆与直线的唯一交点;
(II)证明:构成等比数列.
解:本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程,直线和曲线的几何性质,等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。
解:(I)(方法一)由得代入椭圆,
得.
将代入上式,得从而
因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.
(方法二)显然P是椭圆与的交点,若Q是椭圆与的交点,代入的方程,得
即故P与Q重合。
(方法三)在第一象限内,由可得
椭圆在点P处的切线斜率
切线方程为即。
因此,就是椭圆在点P处的切线。
根据椭圆切线的性质,P是椭圆与直线的唯一交点。
(II)的斜率为的斜率为
由此得构成等比数列。
(21)(本小题满分13分)
首项为正数的数列满足
(I)证明:若为奇数,则对一切都是奇数;
(II)若对一切都有,求的取值范围.
解:本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力,考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。
解:(I)已知是奇数,假设是奇数,其中为正整数,
则由递推关系得是奇数。
根据数学归纳法,对任何,都是奇数。
(II)(方法一)由知,当且仅当或。
另一方面,若则;若,则
根据数学归纳法,
综合所述,对一切都有的充要条件是或。
(方法二)由得于是或。
因为所以所有的均大于0,因此与同号。
根据数学归纳法,,与同号。
因此,对一切都有的充要条件是或。