18．（本小题满分12分）

某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。

（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；

（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。

【答案】 （Ⅰ） （Ⅱ）

【解析】 (Ⅰ) 由图知，三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.

从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点，共8对格点恰好“相近”。

所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率

（Ⅱ）三角形共有15个格点。

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4)。

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)。

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0，1,) ,(0，2),(0，3,)。

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1), (1,2), (2,1)。

如下表所示：

. (完)

19．（本小题满分12分）如图5，在直棱柱

（I）证明：；

（II）求直线所成角的正弦值。

【答案】 （Ⅰ） 见下 （Ⅱ）

【解析】 (Ⅰ)

. (证毕)

（Ⅱ）

。(完)

20．（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点处。现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。

（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；

（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。

【答案】 （Ⅰ）d= |x – 3| + |y – 20|，

（Ⅱ）当点P(x,y)满足P(3,1)时, 其到三个居民区的“L路径”长度值和最小为45

【解析】

(Ⅰ) ,

，其中

（Ⅱ）本问考查分析解决应用问题的能力，以及绝对值的基本知识。

点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v。且h和v互不影响。显然当y=1时，v = 20+1=21；，水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| ,且当x=3时，h=24.因此,当P(3,1)时，d=21+24=45.

所以，当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45.

21．（本小题满分13分）

过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为。

（I）若，证明；；

（II）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程。

【答案】 （Ⅰ） 见下 （Ⅱ）

【解析】 (Ⅰ)

.

所以，成立. (证毕)

（Ⅱ）

则，

.

.(完)

22．（本小题满分13分）

已知，函数。

（I）；记求的表达式；

（II）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。

【答案】 （Ⅰ） （Ⅱ）

【解析】

(Ⅰ)

（II）由前知，y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的。因此，若在图像上存在两点满足题目要求，则P,Q分别在两个图像上，且。

不妨设

所以，当时，函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直.(完)

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