三.解答题
(16)(本小题满分12分)
设函数.
(Ⅰ)求的最小值,并求使取得最小值的的集合;
(Ⅱ)不画图,说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.
【解析】(1)
当时,,此时
所以,的最小值为,此时x 的集合.
(2)横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,得;
然后向左平移个单位,得
【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力,中等难度.
(17)(本小题满分12分)
为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如下:
甲 乙
7 4 5
5 3 3 2 5 3 3 8
5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5
8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9
7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8
2 0 9 0
(Ⅰ)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格);
(Ⅱ)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为,估计的值.
【解析】(1)
(2)
=
=
【考点定位】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识,考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力.
(18)(本小题满分12分)
如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形,.已知 .
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)若为的中点,求三菱锥的体积.
【解析】
(1)证明:连接交于点
又是菱形
而 ⊥面 ⊥
(2) 由(1)⊥面
=
【考点定位】考查空间直线与直线,直线与平面的位置,.三棱锥体积等基础知识和基本技能,考查空间观念,推理论证能力和运算能力.
(19)(本小题满分13分)
设数列满足,,且对任意,函数 满足
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列的前项和.
【解析】
由
所以,
是等差数列.
而
(2)
【考点定位】考查函数的求导法则和求导公式,等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推理能力和运算能力.
(20)(本小题满分13分)
设函数,其中,区间.
(Ⅰ)求的长度(注:区间的长度定义为;
(Ⅱ)给定常数,当时,求长度的最小值.
【解析】
(1)令
解得
的长度
(2) 则
由 (1)
,则
故关于在上单调递增,在上单调递减.
【考点定位】考查二次不等式的求解,以及导数的计算和应用,并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.
(21)(本小题满分13分)
已知椭圆的焦距为4,且过点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设为椭圆上一点,过点作轴的垂线,垂足为。取点,连接,过点作的垂线交轴于点。点是点关于轴的对称点,作直线,问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.
【解析】
(1)因为椭圆过点
且
椭圆C的方程是
(2)
由题意,各点的坐标如上图所示,
则的直线方程:
化简得
又,
所以带入
求得最后
所以直线与椭圆只有一个公共点.
【考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质,直线和椭圆的位置关系,并考查数形结合思想,逻辑推理能力及运算能力.