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二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．设
，若
，则
．
【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从
算起是解答本题的突破口.
【解】因为
，所以
，又因为
，
所以
，所以
，
．
【答案】1
12．设
，一元二次方程
有整数根的充要条件是
．
【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．
【解】
，因为
是整数，即
为整数，所以
为整数，且
，又因为，取
，验证可知
符合题意；反之时，可推出一元二次方程有整数根．
【答案】3或4
13．观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第
个等式为 .
【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论．行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．
【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是
；等式右边都是完全平方数，
行数 等号左边的项数
1=1 1 1
2+3+4=9 2 3
3+4+5+6+7=25 3 5
4+5+6+7+8+9+10=49 4 7
…… …… ……
所以
，
即
【答案】
14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．
【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题．
【解】（方法一）设树苗放在第
个树坑旁边（如图），
1 2 … 
… 19 20
那么各个树坑到第i个树坑距离的和是
，所以当
或
时，
的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米.
（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是
；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是
，所以路程总和最小为2000米.
【答案】2000
15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）若关于的不等式
存在实数解，则实数
的取值范围是 ．
【分析】先确定
的取值范围，再使得能取到此范围内的值即可．
【解】当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
综上可得
，所以只要
，解得
或
，
即实数的取值范围是
．
【答案】
B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，
，
，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE= ．
【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解．
【解】因为，
所以∠AEB=，又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以
,
所以
，在Rt△AEB中，
．
【答案】
C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系
中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线
：
（
为参数）和曲线
：
上，则
的最小值为 ．
【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．
【解】曲线的方程是
，曲线的方程是
，两圆外离，所以的最小值为
．
【答案】3
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16．（本小题满分12分）
如图，在△ABC中，∠ABC=
，∠BAC
，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC．
（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）设E为BC的中点，求
与
夹角的余弦值．
【分析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解．
【解】（1）∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后， AD⊥DC，AD⊥DB，
又
，∴AD⊥平面BDC，
∵AD
平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC．
（2）由∠BDC及（1）知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|=1，以D为坐标原点，以，
，
所在直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：
D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,
),E(
,
,0)，
所以
，
，
∴
所以与夹角的余弦值是
．
