（18）（本小题满分12分）

平面图形如图4所示，其中是矩形，，，。现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。

。

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求的长；

（Ⅲ）求二面角的余弦值。

【解析】（I）取的中点为点，连接

则，面面面

同理：面 得：共面

又面

（Ⅱ）延长到，使 得：

，面面面面

（Ⅲ）是二面角的平面角

在中，

在中，

得：二面角的余弦值为。

（19）（本小题满分13分）K]

设

（I）求在上的最小值；

（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。

【解析】（I）设；则

①当时，在上是增函数

得：当时，的最小值为

②当时，

当且仅当时，的最小值为

（II）

由题意得：

（20）（本小题满分13分）

如图，分别是椭圆的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点；

（I）若点的坐标为；求椭圆的方程；

（II）证明：直线与椭圆只有一个交点。

【解析】（I）点代入得：

①

又 ② ③

由①②③得： 既椭圆的方程为

（II）设；则

得：

过点与椭圆相切的直线斜率

得：直线与椭圆只有一个交点。

（21）（本小题满分13分）

数列满足：

（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是

（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。

【解析】（I）必要条件

当时，数列是单调递减数列

充分条件

数列是单调递减数列

得：数列是单调递减数列的充分必要条件是

（II）由（I）得：

①当时，，不合题意

②当时，

当时，与同号，

由

当时，存在，使与异号

与数列是单调递减数列矛盾

得：当时，数列是单调递增数列

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