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23．（11分）（2014•宜昌）在矩形ABCD中，
=a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．
（1）如图1，当DH=DA时，
①填空：∠HGA= 45 度；
②若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时的最小值；
（2）如图3，∠AEH=60°，EG=2BG，连接FG，交边FG，交边DC于点P，且FG⊥AB，G为垂足，求a的值．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）①根据矩形的性质和已知条件得出∠HAE=45°，再根据HA=HG，得出∠HAE=∠HGA，从而得出答案；
②先分两种情况讨论：第一种情况，根据（1）得出∠AHG=90°，再根据折叠的性质得出∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，再根据EF∥HG，得出∠AHF=∠AHG﹣∠FHG，即可得出∠AHE=22.5°，此时，当B与G重合时，a的值最小，求出最小值；第二种情况：根据已知得出∠AEH+∠FEH=45°，由折叠的性质求出∠AHE的度数，此时，当B与E重合时，a的值最小，设DH=DA=x，则AH=CH=
x，在Rt△AHG中，∠AHG=90°，根据勾股定理得：AG=AH=2x，再根据∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，求出∠AEH=∠GHE，得出AB=AE=2x+x，从而求出a的最小值；
（2）先过点H作HQ⊥AB于Q，则∠AQH=∠GOH=90°，根据矩形的性质得出∠D=∠DAQ=∠AQH=90°，得出四边形DAQH为矩形，设AD=x，GB=y，则HQ=x，EG=2y，
由折叠的性质可知∠AEH=∠FEH=60°，得出∠FEG=60°，在Rt△EFG中，根据特殊角的三角函数值求出EG和EQ的值，再由折叠的性质得出AE=EF，求出y的值，从而求出AB=2AQ+GB，即可得出a的值．
解答： 解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADH=90°，
∵DH=DA，
∴∠DAH=∠DHA=45°，
∴∠HAE=45°，
∵HA=HG，
∴∠HAE=∠HGA=45°；
故答案为：45°；
②分两种情况讨论：
第一种情况：
∵∠HAG=∠HGA=45°；
∴∠AHG=90°，
由折叠可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，
∵EF∥HG，
∴∠FHG=∠F=45°，
∴∠AHF=∠AHG﹣∠FHG=45°，
即∠AHE+∠FHE=45°，
∴∠AHE=22.5°，
此时，当B与G重合时，a的值最小，最小值是2；
第二种情况：
∵EF∥HG，
∴∠HGA=∠FEA=45°，
即∠AEH+∠FEH=45°，
由折叠可知：∠AEH=∠FEH，
∴∠AEH=∠FEH=22.5°，
∵EF∥HG，
∴∠GHE=∠FEH=22.5°，
∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°，
此时，当B与E重合时，a的值最小，
设DH=DA=x，则AH=CH=x，
在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得：
AG=AH=2x，
∵∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，
∴∠AEH=∠GHE，
∴GH=GE=x，
∴AB=AE=2x+x，
∴a的最小值是
=2+
；
（2）如图：过点H作HQ⊥AB于Q，则∠AQH=∠GOH=90°，
在矩形ABCD中，∠D=∠DAQ=90°，
∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°，
∴四边形DAQH为矩形，
∴AD=HQ，
设AD=x，GB=y，则HQ=x，EG=2y，
由折叠可知：∠AEH=∠FEH=60°，
∴∠FEG=60°，
在Rt△EFG中，EG=EF×cos60°，EF=4y，
在Rt△HQE中，EQ=
=
x，
∴QG=QE+EG=x+2y，
∵HA=HG，HQ⊥AB，
∴AQ=GQ=x+2y，
∴AE=AQ+QE=
x+2y，
由折叠可知：AE=EF，
∴x+2y=4y，
∴y=x，
∴AB=2AQ+GB=2（
x+2y）+y=
x，
∴a=
=．
点评： 此题考查了四边形的综合，用到的知识点是矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识点，关键是根据题意做出辅助线，构造直角三角形．
24．（12分）（2014•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax2+bx+c．
（1）填空：△AOB≌△ DNA或△DPA ≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A（0， 4﹣t ）；
（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；
（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；
（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线x=2﹣
，顶点随着的增大向上移动时，求t的取值范围．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）根据全等三角形的判定定理SAS证得：△AOB≌△DNA或DPA≌△BMC；根据图中相关线段间的和差关系来求点A的坐标；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等易推知：OM=OB+BM=t+4﹣t=4，则C（4，t）．把点O、C的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c可以求得b=
t﹣4a；
（3）利用待定系数法求得直线OD的解析式y=
x．联立方程组，得
，所以ax2+（﹣
﹣4a）x=0，解得 x=0或x=4+
．
对于抛物线的开口方向进行分类讨论，即a＞0和a＜0两种情况下的a的取值范围；
（4）根据抛物线的解析式y=ax2+（
﹣4a）x得到顶点坐标是（﹣
，﹣
（t﹣16a）2）．结合已知条件求得a=
t2，故顶点坐标为（2﹣
，﹣（t﹣）2）．哟抛物线的性质知：只与顶点坐标有关，故t的取值范围为：0＜t≤．
解答： 解：（1）如图，∵∠DNA=∠AOB=90°，
∴∠NAD=∠OBA（同角的余角相等）．
在△AOB与△DNA中，
，
∴△AOB≌△DNA（SAS）．
同理△DNA≌△BMC．
∵点P（0，4），AP=t，
∴OA=OP﹣AP=4﹣t．
故答案是：DNA或△DPA；4﹣t；
（2）由题意知，NA=OB=t，则OA=4﹣t．
∵△AOB≌△BMC，
∴CM=OB=t，
∴OM=OB+BM=t+4﹣t=4，
∴C（4，t）．
又抛物线y=ax2+bx+c过点O、C，
∴
，
解得 b=
t﹣4a；
（3）当t=1时，抛物线为y=ax2+（
﹣4a）x，NA=O
B=1，OA=3．
∵△AOB≌△DNA，
∴DN=OA=3，
∵D（3，4），
∴直线OD为：y=
x．
联立方程组，得
，
消去y，得
ax2+（﹣
﹣4a）x=0，
解得 x=0或x=4+
，
所以，抛物线与直线OD总有两个交点．
讨论：①当a＞0时，4+＞3，只有交点O，所以a＞0符合题意；
②当a＜0时，若4+＞3，则a＜﹣．
又a＜0
所以 a＜﹣．
若4+＜0，则得a＞﹣
．
又a＜0，
所以﹣＜a＜0．
综上所述，a的取值范围是a＞0或a＜﹣
或﹣
＜a＜0．
（4）抛物线为y=ax2+（
﹣4a）x，则顶点坐标是（﹣
，﹣
（t﹣16a）2）．
又∵对称轴是直线x=﹣+2=2﹣
，
∴a=
t2，
∴顶点坐标为：（2﹣，﹣
（1﹣4t）2），即（2﹣
，﹣（t﹣
）2）．
∵抛物线开口向上，且随着t的增大，抛物线的顶点向上移动，
∴只与顶点坐标有关，
∴t的取值范围为：0＜t≤．
点评： 本题考查了二次函数综合题型．此题难度较大，需要熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数图象的性质等知识点，综合性比较强，需要学生对所学知识进行系统的掌握．
