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20．（6分）（2013•红河州）如图，某山顶上建有手机信号中转塔AB，在地面D处测得塔尖的仰角∠ADC=60°，塔底的仰角∠BDC=45°，点D距塔AB的距离DC为100米，求手机信号中转塔AB的高度（结果保留根号）．
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 先在Rt△BCD中，根据∠BDC=45°，得出BC=CD=100；再在Rt△ACD中，根据正切函数的定义，求出AC=100
，然后由AB=AC﹣BC即可求解．
解答： 解：由题意可知，△ACD与△BCD都是直角三角形．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=45°，
∴BC=CD=100．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=60°，CD=100，
∴tan∠ADC=
，即
，
∴
，
∴AB=AC﹣BC=
．
答：手机信号中转塔的高度为米．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，难度适中，解答本题的关键是借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
21．（6分）（2013•红河州）如图，正比例函数y1=x的图象与反比例函数
（k≠0）的图象相交于A、B两点，点A的纵坐标为2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求出点B的坐标，并根据函数图象，写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题．
分析： （1）设A（m，2），将A纵坐标代入正比例解析式求出m的值，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）联立两函数解析式求出B的坐标，由A与B横坐标，利用图象即可求出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．
解答： 解：（1）设A点的坐标为（m，2），代入y1=x得：m=2，
∴点A的坐标为（2，2），
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y2=
；
（2）当y1=y2时，x=，
解得：x=±2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
则由图象可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜0或x＞2．
点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．
22．（7分）（2013•红河州）如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；
（2）若BD=8cm，求线段BE的长．
考点： 正方形的性质；勾股定理；平行四边形的判定．
分析： （1）根据正方形的对边互相平行可得AD∥BC，即为AD∥CE，然后根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形解答；
（2）根据正方形的四条边都相等，平行四边形的对边相等可得BC=AD=CE，再根据正方形的边长等于对角线的
倍求出BC，然后求出BE即可．
解答： 解：（1）四边形ACED是平行四边形．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
即AD∥CE，
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）由（1）知，BC=AD=CE=CD，
∵BD=8cm，
∴BC=BD=×8=4
cm，
∴BE=BC+CE=4+4=8cm．
点评： 本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，比较简单，熟练掌握各图形的性质是解题的关键．
23．（9分）（2013•红河州）如图，抛物线y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．
（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；
（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；
（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题
分析： （1）在抛物线解析式y=﹣x2+4中，令y=0，解方程可求得点A、点B的坐标；令x=0，可求得顶点C的坐标．已知点B、C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式；
（2）求出△ODE面积的表达式，利用二次函数的性质求出最大值，并确定点E的坐标；
（3）本问为存在型问题．因为△OAC与△OPD都是直角三角形，需要分类讨论：
①当△PDO∽△COA时，由
得PD=2OD，列方程求出点P的坐标；
②当△PDO∽△AOC时，由
得OD=2PD，列方程求出点P的坐标．
解答： 解：（1）在y=﹣x2+4中，当y=0时，即﹣x2+4=0，解得x=±2．
当x=0时，即y=0+4，解得y=4．
所以点A、B、C的坐标依次是A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，4）．
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
，解得
．
所以直线BC的解析式为y=﹣2x+4． …3分
（2）∵点E在直线BC上，
∴设点E的坐标为（x，﹣2x+4），
则△ODE的面积S可表示为：
．
∴当x=1时，△ODE的面积有最大值1．
此时，﹣2x+4=﹣2×1+4=2，
∴点E的坐标为（1，2）． …5分
（3）存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：
设点P的坐标为（x，﹣x2+4），0＜x＜2．
因为△OAC与△OPD都是直角三角形，分两种情况：
①当△PDO∽△COA时，
，
，
解得
，
（不符合题意，舍去）．
当
时，
．
此时，点P的坐标为
．
②当△PDO∽△AOC时，
，
，
解得
，
（不符合题意，舍去）．
当
时，
=
．
此时，点P的坐标为
．
综上可得，满足条件的点P有两个：
，
． …9分．
点评： 本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、相似三角形、解方程等知识点，难度不大．第（3）问是存在型问题，可能存在两种符合条件的情况，需要分类讨论，避免漏解．
