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2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)

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19、(本小题满分13分)

已知A,B 分别为曲线C: 2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)+2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)=1(y2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)0,a>0)与x轴的左、右两个交点,直线2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)过点B,且与2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)轴垂直,S为2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)

异于点B的一点,连结AS交曲线C于点T.

2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)

(1)若曲线C为半圆,点T为圆弧2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)的三等分点,试求出点S的坐标;

(II)如图,点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点,试问:是否存在2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科),使得O,M,S三点共线?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由。

19.【解析】

解法一:

(Ⅰ)当曲线C为半圆时,如图,由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.

(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.

又AB=2,故在△SAE中,有

(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上,

(Ⅱ)假设存在,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SB为直线的圆上,故.

显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为.

设点

,从而.

亦即

,可得

经检验,当时,O,M,S三点共线. 故存在,使得O,M,S三点共线.

解法二:

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SO为直径的圆上,故.

显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为

设点,则有

所直线SM的方程为

O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.

故存在,使得O,M,S三点共线.

20、(本小题满分14分)

已知函数2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科),且2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)

(1) 试用含2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)的代数式表示b,并求2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)的单调区间;

(2)令2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科),设函数2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)处取得极值,记点M (2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科),2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)),N(2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科),2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)),P(2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)), 2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科),请仔细观察曲线2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势,并解释以下问题:

(I)若对任意的m 2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)(2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科), x2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)),线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点,试确定t的最小值,并证明你的结论;

(II)若存在点Q(n ,f(n)), x 2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点,请直接写出m的取值范围(不必给出求解过程)

20.解法一:

(Ⅰ)依题意,得

.

从而

①当a>1时,

当x变化时,的变化情况如下表:

x

+

+

单调递增

单调递减

单调递增

由此得,函数的单调增区间为,单调减区间为

②当时,此时有恒成立,且仅在,故函数的单调增区间为R

③当时,同理可得,函数的单调增区间为,单调减区间为

综上:

时,函数的单调增区间为,单调减区间为

时,函数的单调增区间为R;

时,函数的单调增区间为,单调减区间为.

(Ⅱ)由

由(1)得增区间为,单调减区间为,所以函数在处取得极值,故M()N()。

观察的图象,有如下现象:

①当m从-1(不含-1)变化到3时,线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。

②线段MP与曲线是否有异于H,P的公共点与Kmp-的m正负有着密切的关联;

③Kmp-=0对应的位置可能是临界点,故推测:满足Kmp-的m就是所求的t最小值,下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率

线段MP的斜率Kmp

当Kmp-=0时,解得

直线MP的方程为

时,上只有一个零点,可判断函数在上单调递增,在上单调递减,又,所以上没有零点,即线段MP与曲线没有异于M,P的公共点。

时,.

所以存在使得

即当MP与曲线有异于M,P的公共点

综上,t的最小值为2.

(2)类似(1)于中的观察,可得m的取值范围为

解法二:

(1)同解法一.

(2)由,令,得

由(1)得的单调增区间为,单调减区间为,所以函数在处取得极值。故M().N()

(Ⅰ) 直线MP的方程为

线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(-1,m)上有根,即函数

上有零点.

因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.

.因此, 上有零点等价于内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.

等价于

又因为,所以m 的取值范围为(2,3)

从而满足题设条件的r的最小值为2.

21、本题(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中,

(1)(本小题满分7分)选修4-4:矩阵与变换

已知矩阵M2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A ‘(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标

(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程

已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科) (2009年高考数学真题附解析(福建卷+理科)为参数 )试判断他们的公共点个数

(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲

解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1

21.

(1)解:依题意得

,故

从而由

为所求.

(2)解:圆的方程可化为.

其圆心为,半径为2.

(3)解:当x<0时,原不等式可化为

不存在;

时,原不等式可化为

综上,原不等式的解集为

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