19、(本小题满分13分)
已知A,B 分别为曲线C: +=1(y0,a>0)与x轴的左、右两个交点,直线过点B,且与轴垂直,S为上
异于点B的一点,连结AS交曲线C于点T.
(1)若曲线C为半圆,点T为圆弧的三等分点,试求出点S的坐标;
(II)如图,点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点,试问:是否存在,使得O,M,S三点共线?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由。
19.【解析】
解法一:
(Ⅰ)当曲线C为半圆时,如图,由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.
(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.
又AB=2,故在△SAE中,有
(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上,
(Ⅱ)假设存在,使得O,M,S三点共线.
由于点M在以SB为直线的圆上,故.
显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为.
由
设点
故,从而.
亦即
由得
由,可得即
经检验,当时,O,M,S三点共线. 故存在,使得O,M,S三点共线.
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.
由于点M在以SO为直径的圆上,故.
显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为
由
设点,则有
故
由所直线SM的方程为
O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.
故存在,使得O,M,S三点共线.
20、(本小题满分14分)
已知函数,且
(1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间;
(2)令,设函数在处取得极值,记点M (,),N(,),P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势,并解释以下问题:
(I)若对任意的m (, x),线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点,试确定t的最小值,并证明你的结论;
(II)若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点,请直接写出m的取值范围(不必给出求解过程)
20.解法一:
(Ⅰ)依题意,得
由.
从而
令
①当a>1时,
当x变化时,与的变化情况如下表:
x | |||
+ | - | + | |
单调递增 | 单调递减 | 单调递增 |
由此得,函数的单调增区间为和,单调减区间为。
②当时,此时有恒成立,且仅在处,故函数的单调增区间为R
③当时,同理可得,函数的单调增区间为和,单调减区间为
综上:
当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为;
当时,函数的单调增区间为R;
当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为.
(Ⅱ)由得令得
由(1)得增区间为和,单调减区间为,所以函数在处取得极值,故M()N()。
观察的图象,有如下现象:
①当m从-1(不含-1)变化到3时,线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。
②线段MP与曲线是否有异于H,P的公共点与Kmp-的m正负有着密切的关联;
③Kmp-=0对应的位置可能是临界点,故推测:满足Kmp-的m就是所求的t最小值,下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率;
线段MP的斜率Kmp
当Kmp-=0时,解得
直线MP的方程为
令
当时,在上只有一个零点,可判断函数在上单调递增,在上单调递减,又,所以在上没有零点,即线段MP与曲线没有异于M,P的公共点。
当时,.
所以存在使得
即当MP与曲线有异于M,P的公共点
综上,t的最小值为2.
(2)类似(1)于中的观察,可得m的取值范围为
解法二:
(1)同解法一.
(2)由得,令,得
由(1)得的单调增区间为和,单调减区间为,所以函数在处取得极值。故M().N()
(Ⅰ) 直线MP的方程为
由
得
线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(-1,m)上有根,即函数
上有零点.
因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.
又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.
等价于 即
又因为,所以m 的取值范围为(2,3)
从而满足题设条件的r的最小值为2.
21、本题(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中,
(1)(本小题满分7分)选修4-4:矩阵与变换
已知矩阵M所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A ‘(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标
(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线l:3x+4y-12=0与圆C: (为参数 )试判断他们的公共点个数
(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲
解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1
21.
(1)解:依题意得
由得,故
从而由得
故为所求.
(2)解:圆的方程可化为.
其圆心为,半径为2.
(3)解:当x<0时,原不等式可化为
又不存在;
当时,原不等式可化为
又
当
综上,原不等式的解集为