第Ⅰ卷
一、选择题
(1)复数,为的共轭复数,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【命题意图】本题主要考查复数的运算.
【解析】|z|2-(1+i)-1=.
(2)函数的反函数为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【命题意图】本题主要考查反函数的求法.
【解析】由原函数反解得,又原函数的值域为,所以函数的反函数为.
(3)下面四个条件中,使成立的充分而不必要的条件是
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.
【解析】即寻找命题,使,且推不出,逐项验证知可选A.
(4)设为等差数列的前项和,若,公差,,则
(A)8 (B)7 (C)6 (D)5
【答案】D
【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.
【解析】解法一,解得.
解法二: ,解得.
(5)设函数,将的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则的最小值等于
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换.
【解析】由题意得,解得,又,令,得.
(6)已知直二面角,点,,为垂足,,,为垂
足.若,则到平面的距离等于
(A) (B) (C) (D) 1
【答案】C
【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法.
【解析】如图,过作,垂足为,因为是直二面角, ,∴平面,
∴,,,∴平面,故的长为点到平面的距离.在中,由等面积法得.
(7)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本,则不同的赠送方法共有
(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种
【答案】B
【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识,考察考生分析问题的能力.
【解析】分两类:一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有种;
二是取出2本画册,2本集邮册,此时赠送方法有种.故赠送方法共有10种.
(8)曲线在点(0,2)处的切线与直线和围成的三角形的面积为
(A) (B) (C) (D)1
【答案】A
【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式.
【解析】∴曲线在点(0,2)处的切线的斜率故切线方程是,在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为(0,0)、(1,0)、(, ),∴三角形的面积是.
(9)设是周期为2的奇函数,当时,,则
(A) - (B) (C) (D)
【答案】A
【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法.
【解析】由是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得: .
(10)已知抛物线C:的焦点为,直线与交于,两点.则
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,余弦定理的应用.
【解析】联立消去得,解得,不妨设点在轴的上方,于是,两点的坐标分别为(4,4),(1,),又,可求得.在中,由余弦定理.
(11)已知平面α截一球面得圆,过圆心且与α成二面角的平面β截该球面得圆.若该球面的半径为4,圆的面积为4,则圆的面积为
(A)7 (B)9 (C)11 (D)13
【答案】D
【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.
【解析】如图所示,由圆的面积为4知球心到圆的距离,在中,, ∴,故圆的半径,∴圆的面积为.
(12)设向量,,满足|,,,则的最大值等于
(A)2 (B) (c) (D)1
【答案】A
【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积运算、向量加减法、四点共圆的条件及数形结合的思想.
【解析】如图,设,则,,∴四点共圆,当为圆的直径时,最大,最大值为2.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上(注意:在试卷上作答无效)
(13)的二项展开式中,的系数与的系数之差为 .
【答案】0
【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.
【解析】由得的系数为,的系数为,而=,所以的系数与的系数之差为0.
(14)已知,,则 .
【答案】
【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系和二倍角的正切公式.
【解析】由,得,故,
∴.
(15)已知、分别为双曲线: 的左、右焦点,点,点的坐标为(2,0),为的平分线.则 .
【答案】6
【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理,双曲线的第一定义和性质.
【解析】为的平分线,∴ ∴
又点,由双曲线的第一定义得.
(16)己知点、分别在正方体的棱、上,且,则面与面所成的二面角的正切值等于 .
【答案】
【命题意图】本题主要考查正方体中二面角的求法.
【解析】延长交的延长线于,连结,则为面与面的交线,由得,∴为中点.设正方体的棱长为1,则,又,∴∴平面,∴∴是面与面所成的二面角的平面角,在中,,故面与面所成的二面角的正切值等于.