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三、计算题（2小题，每小题6分）
19．（6分）（2013•眉山）计算：2cos45°﹣
+（﹣
）﹣1+（π﹣3.14）0．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
分析： 分别进行特殊角的三角函数值、二次根式的化简、负整数指数幂、零指数幂等运算，然后按照实数的运算法则计算即可．
解答： 解：原式=2×
﹣4﹣4+1=
﹣7．
点评： 本题考查了实数的运算，涉及了特殊角的三角函数值、二次根式的化简、负整数指数幂、零指数幂等知识，属于基础题．
20．（6分）（2013•眉山）先化简，再求值：
，其中
．
考点： 分式的化简求值
专题： 计算题．
分析： 这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．
解答： 解：原式=
+（x﹣2）（3分）
=x（x﹣1）+（x﹣2）=x2﹣2；（2分）
当x=
时，则原式的值为
﹣2=4．（2分）
点评： 分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
21．（8分）（2013•眉山）如图，在11×11的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）作出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C；
（3）在（2）的条件下直接写出点B旋转到B2所经过的路径的长．（结果保留π）
考点： 作图-旋转变换；弧长的计算；作图-轴对称变换．
专题： 作图题．
分析： （1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B绕点C顺时针旋转90°后的A2、B2的位置，然后顺次连接即可；
（3）利用勾股定理列式求出BC的长，再根据弧长公式列式计算即可得解．
解答： 解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C如图所示；
（3）根据勾股定理，BC=
=
，
所以，点B旋转到B2所经过的路径的长=
=
π．
点评： 本题考查了利用轴对称变换作图，利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
22．（8分）（2013•眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：
．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题： 应用题．
分析： （1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出水平宽FG的长；同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF=FG+GH﹣AH求出AF的长．
（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．
解答： 
解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H． （1分）
∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行等于EG． （2分）
故四边形EGHD是矩形． （3分）
∴ED=GH． （4分）
在Rt△ADH中，
AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10（米）． （5分）
在Rt△FGE中，
i=
=
，
∴FG=EG=10
（米）． （6分）
∴AF=FG+GH﹣AH=10+3﹣10=10﹣7（米）；（7分）
（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长（8分）
=
×（3+10﹣7）×10×500
=25000﹣10000（立方米）． （9分）
答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为（10﹣7）米；
（2）完成这项工程需要土石（25000﹣10000）立方米． （10分）
点评： 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
五、（2个小题，每小题9分）
23．（9分）（2013•眉山）我市某中学艺术节期间，向学校学生征集书画作品．九年级美术李老师从全年级14个班中随机抽取了A、B、C、D 4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）李老师采取的调查方式是 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查”），李老师所调查的4个班征集到作品共 12 件，其中B班征集到作品 3 ，请把图2补充完整．
（2）如果全年级参展作品中有4件获得一等奖，其中有2名作者是男生，2名作者是女生．现在要在抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
考点： 条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．
专题： 计算题．
分析： （1）根据题意得到此次调查为抽样调查，用C的度数除以360度求出所占的百分比，由C的件数除以所占的百分比即可得到调查的总件数；进而求出B的件数；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
解答： 解：（1）此次调查为抽样调查；
根据题意得调查的总件数为：5÷
=12（件），
B的件数为12﹣（2+5+2）=3（件）；补全图2，如图所示：
故答案为：抽样调查；12；3；
（2）画树状图如下：
所有等可能的情况有12种，其中一男一女有8种，
则P=
=
．
点评： 此题考查了条形统计图，扇形统计图，概率的计算，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
24．（9分）（2013•眉山）2013年4月20日，雅安发生7.0级地震，某地需550顶帐蓬解决受灾群众临时住宿问题，现由甲、乙两个工厂来加工生产．已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍，并且加工生产240顶帐蓬甲工厂比乙工厂少用4天．
①求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少顶帐蓬？
②若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元，要使这批救灾帐蓬的加工生产总成本不高于60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？
考点： 分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
分析： ①先设乙工厂每天可加工生产x顶帐蓬，则甲工厂每天可加工生产1.5x顶帐蓬，根据加工生产240顶帐蓬甲工厂比乙工厂少用4天列出方程，求出x的值，再进行检验即可求出答案；
②设甲工厂加工生产y天，根据加工生产总成本不高于60万元，列出不等式，求出不等式的解集即可．
解答： 解：①设乙工厂每天可加工生产x顶帐蓬，则甲工厂每天可加工生产1.5x顶帐蓬，根据题意得：
﹣
=4，
解得：x=20，
经检验x=20是原方程的解，
则甲工厂每天可加工生产1.5×20=30（顶），
答：甲、乙两个工厂每天分别可加工生产30顶和20顶帐蓬；
②设甲工厂加工生产y天，根据题意得：
3y+2.4×
≤60，
解得：y≥10，
则至少应安排甲工厂加工生产10天．
点评： 此题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出题目中的数量关系，列出方程和不等式，注意分式方程要检验．
一、（B卷、本题9分）
25．（9分）（2013•眉山）在矩形ABCD中，DC=2
，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．
考点： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．
分析： （1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定；
（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC．
解答： 解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．
（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=
；
设EF=x，则FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴
=
，即可得：6x2=12，
解得：x=
，
则CF=3，
在Rt△CFD中，DF=
=
，
∴BC=2DF=2．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例．
二、本题11分
26．（11分）（2013•眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移
个单位后得到的抛物线的解析式．
考点： 二次函数综合题
分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形，需要分类讨论：
①以点A为直角顶点．过点A作直线AD的垂线，与抛物线的交点即为所求点P．首先求出直线PA的解析式，然后联立抛物线与直线PA的解析式，求出点P的坐标；
②以点P为直角顶点．此时点P只能与点B重合；
③以点E为直角顶点．此时点P亦只能与点B重合．
（3）抛物线沿射线AD方向平移
个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位．据此，按照“左加右减”的原则，确定平移后抛物线的解析式．
解答： 解：（1）根据题意得，A（1，0），D（0，1），B（﹣3，0），C（0，﹣3）．
抛物线经过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），则有：
，
解得
，
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3．
（2）存在．
△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形：
①以点A为直角顶点．
如解答图，过点A作直线AD的垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点F．
∵OA=OD=1，则△AOD为等腰直角三角形，
∵PA⊥AD，则△OAF为等腰直角三角形，∴OF=1，F（0，﹣1）．
设直线PA的解析式为y=kx+b，将点A（1，0），F（0，﹣1）的坐标代入得：
，
解得k=1，b=﹣1，
∴y=x﹣1．
将y=x﹣1代入抛物线解析式y=x2+2x﹣3得，x2+2x﹣3=x﹣1，
整理得：x2+x﹣2=0，
解得x=﹣2或x=1，
当x=﹣2时，y=x﹣1=﹣3，
∴P（﹣2，﹣3）；
②以点P为直角顶点．
此时∠PAE=45°，因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上．
过点A与y轴平行的直线，只有点A一个交点，故此种情形不存在；
因此点P只能在x轴上，而抛物线与x轴交点只有点A、点B，故点P与点B重合．
∴P（﹣3，0）；
③以点E为直角顶点．
此时∠EAP=45°，由②可知，此时点P只能与点B重合，点E位于直线AD与对称轴的交点上．
综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形．点P的坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣3，0）．
（3）抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4．
抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=（x+1+1）2﹣4+1=x2+4x+1．
点评： 本题考查了二次函数综合题型，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、抛物线与平移、等腰直角三角形等知识点，试题的考查重点是分类讨论的数学思想．
