20.(本小题满分12分)
等比数列{}的前n项和为
, 已知对任意的
,点
,均在函数
且
均为常数)的图像上.
(1)求r的值;
(11)当b=2时,记 求数列
的前
项和
解:因为对任意的,点
,均在函数
且
均为常数)的图像上.所以得
,
当时,
,
当时,
,
又因为{}为等比数列, 所以
, 公比为
, 所以
(2)当b=2时,,
则
相减,得
所以
21.(本小题满分12分)
已知函数,其中
(1) 当满足什么条件时,
取得极值?
(2) 已知,且
在区间
上单调递增,试用
表示出
的取值范围.
解: (1)由已知得,令
,得
,
要取得极值,方程
必须有解,
所以△,即
, 此时方程
的根为
,
,
所以
当时,
x | (-∞,x1) | x 1 | (x1,x2) | x2 | (x2,+∞) |
f’(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f (x) | 增函数 | 极大值 | 减函数 | 极小值 | 增函数 |
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
当时,
x | (-∞,x2) | x 2 | (x2,x1) | x1 | (x1,+∞) |
f’(x) | - | 0 | + | 0 | - |
f (x) | 减函数 | 极小值 | 增函数 | 极大值 | 减函数 |
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
综上,当满足
时,
取得极值.
(2)要使在区间
上单调递增,需使
在
上恒成立.
即恒成立, 所以
设,
,
令得
或
(舍去),
当时,
,当
时
,
单调增函数;
当时
,
单调减函数,
所以当时,
取得最大,最大值为
.
所以
当时,
,此时
在区间
恒成立,所以
在区间
上单调递增,当
时
最大,最大值为
,所以
综上,当时,
; 当
时,
22. (本小题满分14分)
设,在平面直角坐标系中,已知向量
,向量
,
,动点
的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
(2)已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且
(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知,设直线
与圆C:
(1<R<2)相切于A1,且
与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.
解:(1)因为,
,
,
所以, 即
.
当m=0时,方程表示两直线,方程为;
当时, 方程表示的是圆
当且
时,方程表示的是椭圆;
当时,方程表示的是双曲线.
(2).当时, 轨迹E的方程为
,设圆心在原点的圆的一条切线为
,解方程组
得
,即
,
要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,
则使△=,
即,即
, 且
,
要使, 需使
,即
,
所以, 即
且
, 即
恒成立.
所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,
, 所求的圆为
.
当切线的斜率不存在时,切线为,与
交于点
或
也满足
.
综上, 存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
.
(3)当时,轨迹E的方程为
,设直线
的方程为
,因为直线
与圆C:
(1<R<2)相切于A1, 由(2)知
, 即
①,
因为与轨迹E只有一个公共点B1,
由(2)知得
,
即有唯一解
则△=, 即
, ②
由①②得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点,
由 中
,所以,
,
B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以
,
在直角三角形OA1B1中,因为
当且仅当
时取等号,所以
,即
当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.