19.解:(1)由 得
则有=
得 即
.
(2) 由 推出
;而
,
即得,
则有 解得
.
20.解:方法(一):
(1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD.
因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD,
所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD.
(2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD,则AB∥MN∥CD,
由(1)知,PD⊥平面ABM,则MN是PN在平面ABM上的射影,
所以 就是
与平面
所成的角,
且
所求角为
(3)因为O是BD的中点,则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半,由(1)知,PD⊥平面ABM于M,则|DM|就是D点到平面ABM距离.
因为在Rt△PAD中,,
,所以
为
中点,
,则O点到平面ABM的距离等于
。
方法二:
(1)同方法一;
(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则,
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量
,由
可得:
,令
,则
,即
.设所求角为
,则
,
所求角的大小为.
(3)设所求距离为,由
,得:
21. 解: (1) 由于,故
,
故 (
)
(2)
两式相减得
故
22.解: (1)设,过圆心
作
于
,
交长轴于
由得
,
即 (1)
而点在椭圆上,
(2)
由(1)、 (2)式得,解得
或
(舍去)
(2) 设过点与圆
相切的直线方程为:
(3)
则,即
(4)
解得
将(3)代入得
,则异于零的解为
设,
,则
则直线的斜率为:
于是直线的方程为:
即
则圆心到直线
的距离
故结论成立.