三、解答题:本大题共6小题,共74分.
(17)(本小题满分12分)
在△ABC中,内角所对的边分别为
,已知
.
(Ⅰ)求证:成等比数列;
(Ⅱ)若,求△
的面积S.
【答案】(17)(I)由已知得:
,
,
,
再由正弦定理可得:,
所以成等比数列.
(II)若,则
,
∴,
,
∴△的面积
.
(18)(本小题满分12分)
袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
【答案】(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种:红1红2,红1红3,红1蓝1,红1蓝2,红2红3,红2蓝1,红2蓝2,红3蓝1,红3蓝2,蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况,故所求的概率为.
(II)加入一张标号为0的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的10种情况外,多出5种情况:红1绿0,红2绿0,红3绿0,蓝1绿0,蓝2绿0,即共有15种情况,其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况,所以概率为.
(19) (本小题满分12分)
如图,几何体是四棱锥,△
为正三角形,
.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若∠,M为线段AE的中点,求证:
∥平面
.
【答案】(19)(I)设中点为O,连接OC,OE,则由
知
,
,
又已知,所以
平面OCE.
所以,即OE是BD的垂直平分线,
所以.
(II)取AB中点N,连接,
∵M是AE的中点,∴∥
,
∵△是等边三角形,∴
.
由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即,
所以ND∥BC,
所以平面MND∥平面BEC,故DM∥平面BEC.
(20) (本小题满分12分)
已知等差数列的前5项和为105,且
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)对任意,将数列
中不大于
的项的个数记为
.求数列
的前m项和
.
【答案】 (I)由已知得:
解得,
所以通项公式为.
(II)由,得
,
即.
∵,
∴是公比为49的等比数列,
∴.
(21) (本小题满分13分)
如图,椭圆的离心率为
,直线
和
所围成的矩形ABCD的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆M的标准方程;
(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点
与矩形ABCD有两个不同的交点
.求
的最大值及取得最大值时m的值.
【答案】(21)(I)……①
矩形ABCD面积为8,即……②
由①②解得:,
∴椭圆M的标准方程是.
(II),
设,则
,
由得
.
.
当过
点时,
,当
过
点时,
.
①当时,有
,
,
其中,由此知当
,即
时,
取得最大值
.
②由对称性,可知若,则当
时,
取得最大值
.
③当时,
,
,
由此知,当时,
取得最大值
.
综上可知,当和0时,
取得最大值
.
(22) (本小题满分13分)
已知函数为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线
在点
处的切线与x轴平行.
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设,其中
为
的导函数.证明:对任意
.
【答案】
(I),
由已知,,∴
.
(II)由(I)知,.
设,则
,即
在
上是减函数,
由知,当
时
,从而
,
当时
,从而
.
综上可知,的单调递增区间是
,单调递减区间是
.
(III)由(II)可知,当时,
≤0<1+
,故只需证明
在
时成立.
当时,
>1,且
,∴
.
设,
,则
,
当时,
,当
时,
,
所以当时,
取得最大值
.
所以.
综上,对任意,
.