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2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

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三.解答题:本大题共小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

已知函数2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

(1)当2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)时,求2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)在区间2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)上的取值范围;

(2)当2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)时,2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),求2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)的值.

【命题意图】本题考查了两角和与差的三角函数,三角恒等变换,研究三角函数的性质以及三角函数在闭区间上的最值问题,方程思想求参数的值.考查了考生综合运用三角函数知识的解题能力.

【参考答案】(本小题满分12分)

解:(1)当2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)时,2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

又由2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),所以2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

从而2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

(2)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

所以2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),得2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

【点评】三角函数的定义和性质有着十分鲜明的特征和规律性,它和代数、几何有着密切的联系,是研究其他部分知识的工具,在实际问题中也有着广泛的应用,因而是高考对基础知识和基本技能考查的重要内容之一.有关三角函数的试题,其解题特点往往是先进行三角恒等变形,再利用三角函数的图象和性质解题,是高考的热点.

18.(本小题满分12分)

某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.令2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)表示走出迷宫所需的时间.

(1)求2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)的分布列;(2)求2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)的数学期望.

【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识,考查了考生利用所学知识解决实际2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)问题的能力.

【参考答案】(本小题满分12分)

解:(1)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)的所有可能取值为:1,3,4,6

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),所以2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)的分布列为:

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

1

3

4

6

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

(2)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)(小时)

【点评】求离散型随机变量分布列和期望时要注意两个问题:一是求出随机变量所有可能的值;二是求出取每一个值时的概率.求随机变量的分布列,关键是概率类型的确定与转化.概率题目特点是与实际生活密切相关,应立足基础知识和基本方法的复习,抓好变式训练,从不同角度,不同侧面对题目进行分析,查找思维的缺陷,提高分析问题和解决实际问题的能力.

19.(本小题满分12分)

设函数2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

(1)当2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)时,求2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)的单调区间;

(2)若2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)上的最大值为2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),求2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)的值.

【命题意图】本题考查了利用导数研究函数的单调性、求函数的最值问题,考查了学生分析问题、解决问题的能力.

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

【点评】导数是初等数学与高等数学的重要衔接点,是对函数图象和性质的总结和拓展,是研究函数的单调性、极值、最值、讨论函数图象变化趋势的重要工具,利用导数可以解决现实生活中的最优化问题,由于其应用广泛性,已成为高考命题的重点和热点。以函数为背景,以导数为工具命题趋势,已成为高考的热点问题.

20.(本小题满分12分)

如图,2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)都是边长为2的正三角形,平面2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)平面2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)平面BCD,2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

(1)求点A到平面MBC的距离;

(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.

【命题意图】本题主要考查了空间几何体的线面关系、点到面的距离的求解以及二面角大小计算等问题,考查了考生的空间想象能力以及计算能力.

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

【参考答案】(本小题满分12分)

解法一:(1)取CD中点O,连OB,OM,

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

又平面MCD2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)平面BCD,则MO2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)平面BCD,所以MO//AB,

MO//平面ABC.M,O到平面ABC的距离相等.

作OH2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)BC于H,连MH,则MH2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)BC.

求得2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

设点A到平面MB2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)C的距离为2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),由2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),解得2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

(1)设2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)是平面MBC的法向量,则2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科);由2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),则2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

(2)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

设平面ACM的法向量为2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),由2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)解得2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),取2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

又平面BCD的法向量为2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科).所以2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

设所求二2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)面角为2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),则2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

【点评】空间几何问题通常2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)包括点、线、面的位置关系的判断与证明以及点、线、面之间的角度或长度求解等问题,一般可以通过辅助线的构造,结合点、线、面的相应概念、性质、定理判断与求解.纵观近几年的高考试2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)题,立体几何的解答题在很大程度上扮演着直线与平面内容载体的角色,着重考查立体几何中的逻辑推理,多为中档题,通过这些题目考查考生掌握基础知识、逻辑推理能力、计算能力和空间想象能力.

21.(本小题满分12分)

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

设椭圆2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),抛物线2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

(1)若2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)经过2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)的两个焦点,求2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)的离心率;(2)设2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),又M、N为2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)不在2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)轴上的两个交点,若2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)得垂心为2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),且2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)的重心在2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)上,求椭圆2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)和抛物2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)线2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)的方程.

【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程、、离心率、抛物线的标准方程及利用二者之间的位置关系,挖掘参数符合的条件等式,化简整理,从而求出方程.是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识分析推理直至解决问题的能力.

【参考答案】(本小题满分12分)

解:

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

(1)因为抛物线2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)经过椭圆2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)的两个焦点2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),可得2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),由2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),有2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),所以椭圆2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)的离心率2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

(2)由题设可知M,N关于2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)轴对称,设2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),则由2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科) 的垂心为B,有2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),所以2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

……①

由于点2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)上,故有2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科) ……②

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

【点评】解决此类问题时既要利用圆锥曲线的概念、性质,又要结合图形,利用平面几何三角形的重心,垂心的性质.一般考虑通过尽量多地消去未知数,简化已知条件来解决问题.

22.(本小题满分14分)

证明以下命题:

(1)对任一正整数2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),都存在正整数2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),使得2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)成等差数列;

(2)存在无穷多个互不相似的三角形2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),其边长2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)为正整数且2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)成等差数列.

【命题意图】本题考查了等差数列的性质,考查了考生灵活运用所学知识解决问题的能力.是一道值得推敲的好题.

【参考答案】(本小题满分14分)

证明:

(1)易知2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)成等差数列,则2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)也成等差数列,所以对任一正整数2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),都存在正整数2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),使得2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)成等差数列.

(2)若2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)成等差数列,则有2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科) ……①

选取关于2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)的一个多项式,例如2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),使得它可按两种方式分解因式,由于

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

因此令2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),可得2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

易验证2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)满足①,因此2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)成等差数列,

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)时,有2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

因此以2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)为边长可以构成三角形,2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)将此三角形记为2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

其次,2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)任取正整数2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),假若三角形2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)相似,则有:

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

据此例性质有:

2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)

所以2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),由此可得2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),与假设2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)矛盾,即任两个三角形2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)互不相似,所以存在无穷多个互不相似的三角形2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科),其边长2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)为正整数且以2010年高考数学真题附解析(江西卷+理科)成等差数列.

【点评】求解有关数列的综合题,首先要善于从宏观上整体把握问题,能透过给定信息的表象,揭示问题的本质,然后在微观上要明确解题方向,化难为易,化繁为简,注意解题的严谨性.数列问题对能力要求较高,特别是运算能力、归纳、猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.而解答题更是考查能力的集中体现,尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查,应引起我们足够的重视,因此,在平时要加强对能力的培养.

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