20．（本小题满分12分）

根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：

（Ⅰ）工期延误天数的均值与方差；

（Ⅱ）在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率.

考点分析：本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差。

难易度：★★

解析：

（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：

，

.

.

所以的分布列为：

于是，；

.

故工期延误天数的均值为3，方差为.

（Ⅱ）由概率的加法公式，

又.

由条件概率，得.

故在降水量X至少是mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.

21．（本小题满分13分）

设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．

（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

考点分析：本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系，要求能正确理解椭圆的标准方程及其几何性质，并能熟练运用代数方法解决几何问题，对运算能力有较高要求。

难易度：★★★

解析：

（Ⅰ）如图1，设，，则由，

可得，，所以，. ①

因为点在单位圆上运动，所以. ②

将①式代入②式即得所求曲线的方程为.

因为，所以

当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为，；

当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为，.

（Ⅱ）解法1：如图2、3，，设，，则，，

直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得

.

依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得

，即.

因为点H在直线QN上，所以.

于是，.

而等价于，

即，又，得，

故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.

解法2：如图2、3，，设，，则，，

因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得

. ③

依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，

故. 于是由③式可得

. ④

又，，三点共线，所以，即.

于是由④式可得.

而等价于，即，又，得，

故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.

22．（本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且. 求的

最小值；

（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：

设，为正有理数. 若，则；

（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.

注：当为正有理数时，有求导公式.

考点分析：本题主要考察利用导数求函数的最值，并结合推理，考察数学归纳法，对考生的归纳推理能力有较高要求。

难易程度：★★★

解析：（Ⅰ），令，解得.

当时，，所以在内是减函数；

当 时，，所以在内是增函数.

故函数在处取得最小值.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，有，即 ①

若，中有一个为0，则成立；

若，均不为0，又，可得，于是

在①中令，，可得，

即，亦即.

综上，对，，为正有理数且，总有. ②

（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：

设为非负实数，为正有理数.

若，则. ③

用数学归纳法证明如下：

（1）当时，，有，③成立.

（2）假设当时，③成立，即若为非负实数，为正有理数，

且，则.

当时，已知为非负实数，为正有理数，

且，此时，即，于是

=.

因，由归纳假设可得

，

从而.

又因，由②得

，

从而.

故当时，③成立.

由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立.

说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对成立，则后续证明中不需讨论的情况.

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