三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

已知函数

（I）求函数的最小正周期；

(Ⅱ) 求函数的最大值及取最大值时的集合.

16．【命题意图】本题考查了三角函数的恒等变换公式、三角函数的图象与性质等，关键是运算能力的考查及其应用。对于（1）中，先对三角函数进行恒等变换，利用变换后的三角函数的性质确定最小正周期；对于（2）中，直接利用（1）的变换式，求解函数的最大值及最大值时x的集合。

【参考答案】

解：（Ⅰ）因为．

所以函数的最小正周期为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，即时，取最大值．因此函数取最大值时的集合为．

【点评】求解三角函数值问题，往往通过同角三角函数基本关系式、三角函数的恒等变换、解析式的化简与变形、相应的函数图象及其对应的性质的综合分析与考查，往往是高考中的常见问题之一，也是考查面变换比较多的题型之一．关键是正确掌握与应用相应的三角函数公式。

17. （本小题满分12分）

为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）

（I）求, ；

(Ⅱ)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率.

17．【命题意图】本题考查了分层抽样的特征与运算，以及古典概型的概率计算问题。关键是表格中数据的分析与处理。对于（1），直接利用分层抽样的特征建立相关的比例式，求解对应的参数值；对于（2），根据（1）计算的抽取人数，写出相应的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解对应的概率。

．

故选中的2人都来自高校C的概率为．

【点评】通过实际应用问题，主要考查统计及古典概率的求法．解决此类实际应用问题要注意对统计数据的分析和对基本事件分析．关键是对统计与古典概率的求法，统计中往往涉及对应的抽样方法的应用等，它们是一个重点，但通常不难，要认真掌握．

18.（本小题满分12分）

如图3所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点.

（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；

（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1.

18．【命题意图】本题考查了立体几何中点、线、面之间的位置关系的证明问题与夹角的求解问题．对于（1），主要是通过线段的转化，结合空间图形的性质，通过三角形来求解对应的异面直线的夹角问题；对于（2），通过空间几何的分析与判断，通过线面垂直来判断面面垂直问题。

【参考答案】

解：（Ⅰ）如图，因为，所以为异面直线与所成的角．

因为平面，所以．

而，故．

即异面直线和所成的角的正切值为．

（Ⅱ）由平面，平面，得．①

由（Ⅰ）知，，又，所以，从而．②

又，再由①，②得平面．而平面，因此平面平面．

【点评】空间几何问题，通常与点、线、面的位置关系的判断与证明，以及点、线、面之间的角度或长度关系的求解相结合．一般可以通过辅助线的构造结合点、线、面的相应概念、性质、定理判断与求解相关的问题，也可以通过空间向量知识来达到目的．特别对于图形的翻折与变换，要加以分析变换前后相应元素之间的关系．

19.（本小题满分13分）

为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8km的A、B两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）.考察范围为到A、B两点的距离之和不超过10km的区域.

（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；

（Ⅱ）如图4所示，设线段 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍.问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？

19．【命题意图】本题考查了实际应用问题，椭圆的标准方程与几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，直线方程，点到直线的距离公式，以及等差数列的相关问题等。对于（1），直接结合题目的叙述情况，利用椭圆的定义，求解相应的椭圆的标准方程；对于（2），先求相应的直线方程，利用点到直线的距离公式，以及等差数列的求和来确定相关的参数值。

【参考答案】

解：（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为，则由知，点P在以A，B为焦点，长轴长为的椭圆上．此时短半轴长．

所以考察区域边界曲线（如图）的方程为．

（Ⅱ）易知过点的直线方程为．因此点A到直线的距离为

．

设经过年，点A恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得

．

解得，即经过5年，点A恰好在冰川边界线上．

【点评】圆锥曲线是历年高考中比较常见的压轴题之一，近年高考中其解答难度有逐渐变低的趋势．通过解析几何自身的特点，结合相应的数学知识，比如不等式、数列、函数、向量、导数等相应知识加以综合，综合考查各知识点之间的综合应用，也是考查学生综合能力的一大考点．这里通过实际问题交汇，综合相关的知识，难度变小，但考查的知识点变多．

20.（本小题满分13分）

给出下面的数表序列：

其中表有行，第1行的个数是1,3,5,,2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.

（Ⅰ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；

（Ⅱ）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12,，记此数列为 .

求和： .

20．【命题意图】本题考查了数表的识别与归纳推理，等比数列的概念与性质，数列求和等，关键是阅读能力、归纳推理能力、运算能力、化归思维等的应用。对于（1），直接根据数表的规律写出，再通过求平均数确定其数列的特征，并加以类比推广；对于（2），得先根据（1）中规律确定bn的通项，再利用相应的公式进行变形，利用裂项法来求解对应的数列求和问题。

【参考答案】

解：（Ⅰ）表4为

1 3 5 7

4 8 12

12 20

32

它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．

将这一结论推广到表，即表各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列．

简证如下（对考生不作要求）

首先，表的第1行1,3,5,…，2n-1是等差数列，其平均数为；

其次，若表的第行是等差数列，则它的第行也是等差数列．由等差数列的性质知，表的第行中的数的平均数与第行中的数的平均数分别是

．

由此可知，表各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列．

（Ⅱ）表的第1行是1,3,5，…，2n-1，其平均数是．

由（Ⅰ）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列（从而它的第行中的数的平均数是），于是，表中最后一行的唯一一个数为．

因此

．

故

【点评】等差数列与等比数列问题是高考中比较综合的类型之一，可以与函数、图象、解析几何、立体几何等相关知识加以综合，关键是正确分析对应的项与项之间的关系，加以合理分析，从而正确结合数列的相应公式加以处理与解决相关的数列问题．在这里通过数表形式，结合推理思维，还是要在掌握数列基本知识的基础上，结合相应的方法（如错位相减法等），以及与其他知识点的交汇上作文章，要加以重视．

21．（本小题满分13分）

已知函数其中,且.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）设函数（e是自然对数的底数）.是否存在，使在上为减函数？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

21．【命题意图】本题考查了导数及其应用，考查函数的单调性，分段函数及其性质，存在性问题的探究，通过分类讨论等来处理相应的导数问题。对于（1），直接在函数定义域的前提下，加以求导，通过参数的分类讨论，确定相应的单调性；对于（2），要结合参数的不同取值，通过分类讨论，利用函数的单调性来确定存在性问题。

再设，则当在上单调递减时，必在上单调递减，所以．由于，因此．而，所以．此时，显然有在上为减函数，当且仅当在上为减函数，在上为减函数，且．

由（Ⅰ）知，当时，在上为减函数．①

又．②

不难知道，．

因，令，则，或．而，于是

（1） 当时，若，则；若，则．因而在上单调递增，在上单调递减．

（2） 当时，，在上单调递减．

综合（1）、（2）知，当时，在上的最大值为．

所以．③

又对只有当时在取得，亦即只有当时在取得．因此，当时，在上为减函数．从而由①，②，③知，．

综上所述，存在，使在上为减函数，且的取值范围为．

【点评】利用导数研究某些函数的单调性与最值，可以解决一些不等式的证明问题，即通过导数作为工具将函数与不等式知识结合起来运用．导数作为一种工具，可以用来处理与函数有关的很多问题，其中证明不等式也是其中具有创新应用的一种，其实质是抓住用导数判断函数单调性的应用来处理对应函数的单调性问题，从而再转化为对应的不等式成立问题．

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